อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ๛Cachy–Schwarz๛
ให้ $x,y,z\in$ จำนวนจริงบวกซึ่ง $xyz\geqslant 1$ จงพิสูจน์ว่า
$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \geqslant 0$
|
$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}-3 \geqslant -3$
$\leftrightarrow \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \leqslant 3$
By Cauchy–Schwarz inequality and $xyz\geqslant 1$
$(x^5+y^2+z^2)(yz+y^2+z^2)\geqslant (\sqrt{x^5yz}+y^2+z^2)^2\geqslant (x^2+y^2+z^2)^2$
$\leftrightarrow \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}\leqslant \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}$
$\therefore \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \leqslant \sum_{cyc} \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=2+ \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$
But
$xy+yz+zx\leqslant x^2+y^2+z^2\leftrightarrow \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\leqslant 1$
$\therefore \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{x^2+y^2+z^2}{z^5+x^2+y^2} \leqslant 2+\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}\leqslant 3$
Which implies
$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} +\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} +\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \geqslant 0$