[Amankris]

$9.)$
$x^3-12x^2+ax-2b^2=0 $

hide

ให้ $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ เป็นรากทั้งสาม
จะได้ว่า
$x_1+x_2+x_3=12$
$x_1x_2x_3=2b^2$
ลองทำต่อเองนะ (นั่งไล่ก็ได้)

$10.)$
ให้เส้นตรง $L$ ผ่าน $A\,,\,B\,,\,C\,,\,D$

hide

แสดงได้ไม่ยาก ว่า ถ้า $P\not\in L$ แล้ว $|P-A|+|P-B|+|P-C|+|P-D|>10$
ดังนั้น $P\in L$
จากนั้นแยกกรณีจนได้ $P\in BC$

$11.)$
$1=\displaystyle \frac{z^6+z^4+z^2+1}{z^5+z^3+z}$

hide

$0=z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1$ โดยที่ $z^5+z^3+z\not =0$
นั่นคือ $z$ เป็นรากที่เจ็ดของ $-1$ ที่ไม่ใช่ $-1$ (มีทั้งหมด $6$ คำตอบ)
$\sum z_k^{2009}=\sum (z_k^7)^{287}=\sum -1=-6$

$12.)$
$y=ax+b$
$y=x^2$
$y=-x^2+8x-16$

hide

ใช้วิธีม.ต้น ก็ทำออกนะ
$0=x^2-ax-b$ ---> $a^2=-4b$
$0=x^2+(a-8)x+(b+16)$ ---> $(a-8)^2=4b+64$
แก้หา $(a,b)$ ได้

$13.)$
$\rm log_{y+z}x=p$
$\rm log_{z+x}y=p$
$\rm log_{x+y}z=p$

$x>0,\,y>0,\,z>0$

hide

case $p=0$ ---> $(x,y,z)=(1,1,1)$
case $p=1$ ไม่มีคำตอบ
case $p\geqslant 2$
$\rm log_{y+z}x=p$ ---> $x^{\frac{1}{p}}=y+z$
$\rm log_{z+x}y=p$ ---> $y^{\frac{1}{p}}=z+x$
$0=x-y+x^{\frac{1}{p}}-y^{\frac{1}{p}}$
$0=(x^{\frac{1}{p}}-y^{\frac{1}{p}})(x^{\frac{p-1}{p}}+x^{\frac{p-2}{p}}y^{\frac{1}{p}}+...+y^{\frac{p-1}{p}}+1)$
สรุปได้ว่า $x=y(=z)$
กลับไปแทนค่า $x=2^px^p$ ---> $x=\frac{1}{2\cdot 2^{\frac {1}{p-1}}}$
ดังนั้น $p=2$ ---> $(x,y,z)=(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4})$