ข้อ 10
$P(a,b) = P(cos\theta _1,sin\theta _1) , Q(c,d) = Q(cos\theta_2,sin\theta_2)$
$arctan\left(\dfrac{ad+bc}{ac-bd} \right) = arctan\left(\dfrac{cos\theta_1sin\theta_2+sin\theta_1cos\theta_2}{cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2} \right) =arctan\left(\dfrac{sin(\theta_1+\theta_2)}{cos(\theta_1+\theta_2)} \right) = arctan(tan(\theta_1+\theta_2))$
เนื่องจาก $arctan(tan\theta ) = \theta$ ก็ต่อเมื่อ $-\frac{\pi}{2} <\theta<\frac{\pi}{2}$
และโจทย์ข้อนี้คนออกข้อสอบคงตั้งใจให้ $\theta _1,\theta_2$ เป็นมุมที่อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 และ 2 ตามลำดับ ดังนั้น $\frac{\pi}{2} <\theta_1+\theta_2<\frac{3\pi}{2}$ จึงยังยุบ $arctan(tan(\theta_1+\theta_2))$ ไม่ได้
แต่เนื่องจาก $tan\theta = tan(\theta -\pi )$
ดังนั้น $arctan(tan(\theta_1+\theta_2)) = arctan(tan(\theta_1+\theta_2-\pi )) = \theta_1+\theta_2-\pi $ (ยุบได้แล้วเพราะว่า $-\frac{\pi}{2} <\theta_1+\theta_2-\pi <\frac{\pi}{2}$)
|