[Amankris]

สำหรับข้อนี้ ถ้าคนไม่เคยพบ น่าจะรู้สึกตกใจว่า

เราจะหาค่าของ $S(S(S(2^{2006})))$ ได้อย่างไร


ขั้นแรก ให้ลองหาขอบเขตของค่าที่เป็นไปได้ก่อน

Hide

$\begin {array}{rcll}2^{2006}&=&10^{2006\log 2}&<10^{604}\\
S(2^{2006})&\leqslant &604\cdot 9&=5436\\
S(S(2^{2006}))&\leqslant &S(4999)&=31\\
S(S(S(2^{2006})))&\leqslant &S(29)&=11
\end {array}$

ขั้นสอง สนใจตัวที่เป็นไปได้ทั้งหมด

Hide

$\begin {array}{rll}S(n)&\equiv n&(\textrm {mod}\ 9)\\
S(S(S(2^{2006})))&\equiv 2^{2006}&(\textrm {mod}\ 9)\\
&\equiv 2^2\cdot (2^6)^{334}&(\textrm {mod}\ 9)\\
&\equiv 4&(\textrm {mod}\ 9)
\end {array}$

ทีนี้ เราก็จะสรุปอะไรบางอย่างได้
ปล. #4 ถ้าเป็นการเขียน Soln ไม่ควรจะเขียนคำว่า "วนซ้ำทุก 6 ตัว" นะครับ