อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics
ความซับซ้อนของโจทย์ระดับประมาณ pre-olympic เริ่มต้นปีใหม่ มาเล่นกันเถอะ 
1. ใส่หมายเลขข้อ
2. แสดงวิธีทำ
3. ใครตอบได้ตั้งคำถามใหม่
4. ถ้าเป็นไปได้ ซ่อน hint ก็ดีนะครับ
ขอเริ่มจากง่ายก่อนนะครับ
1. จงหาจำนวนเต็มบวก $m$ ที่มากที่สุดซึ่ง $2^m$ หาร $2011^{2554} - 2009^{2554}$
แยกตัวประกอบ |
$2011^{2554} - 2009^{2554}$
$=(2010+1)^{2554}-(2010-1)^{2554}$
$=(2010^{2554}+\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{2}2010^{2552}+...+\binom{2554}{2552}2010^2+\binom{2554}{2553}2010+1)$
$-(2010^{2554}-\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{2}2010^{2552}+...+\binom{2554}{2552}2010^2-\binom{2554}{2553}2010+1)$
$=2(\binom{2554}{1} 2010^{2553}+\binom{2554}{3}2010^{2551}+\binom{2554}{5}2010^{2549}+...+\binom{2554}{2551}2010^3+\binom{2554}{2553}2010)$
$=2(\binom{2554}{1} 2^{2553}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2551}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2549}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}2^31005^3+(2554) (2)(1005))$
$=8(\binom{2554}{1} 2^{2551}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2549}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2547}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}(2)1005^3+(1277) (1005))$
เนื่องจาก$(\binom{2554}{1} 2^{2551}1005^{2553}+\binom{2554}{3}2^{2549}1005^{2551}+\binom{2554}{5}2^{2547}1005^{2549}+...+\binom{2554}{2551}(2)1005^3+(1277) (1005))$เป็นจำนวนคี่
ดังนั้น8|$2011^{2554} - 2009^{2554}$จะได้ว่า$m=3$ครับ