เราจะต้องรู้ก่อนว่า $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}...p_n^{a_n}$ โดยที่ $p_k$ เป็น $prime number$ จะมีตัวประกอบ $(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)...(a_n+1)$ ตัว
พิจารณา $7n$ มีตัวประกอบ $25$ ตัว แต่ $25=1 \times 25=5 \times 5$
case1 $7n=p_1^{24}$
จะได้ว่า $p_1=7 only$
$\therefore n=p_1^{23}$
จะได้ $5n=5p_1^{23}$
case1.1 $p_1=5$
จะได้ $5n=5^{24}$ มีตัวประกอบ $25$ ตัวใช้ไม่ได้
case1.2$ p_1 \not= 5$
จะได้ว่า $5n=5p_1^{23}$ มีตัวประกอบ $48$ ตัว ใช้ไม่ได้
$\therefore case 1$ ใช้ไม่ได้
case 2 $7n=p_1^{4}p_2^{4}$
จาก $p_1$ และ $p_2$ สมมาตรกันให้ $p_1=7$
จะได้ $n=7^3p_2^{4}$
$\therefore 5n=5 \times 7^3 \times p_2^{4}$
case 2.1 $p_2 \not= 5 \not= 7$
จะได้ $5n=5 \times 7^3 \times p_2^{4}$ จะมีตัวประกอบ $40$ ตัว ใช้ไม่ได้
case2.2 $p_2 = 7$
จะได้ $5n=5 \times 7^3 \times p_2^{4}=5 \times 7^7$ จะมีตัวประกอบ $16$ ตัว ใช้ไม่ได้
case 2.3 $p_2 = 5$
จะได้ $5n=5 \times 7^3 \times p_2^{4}=5^5 \times 7^3$ จะมีตัวประกอบ $24$ ตัว ใช้ได้
$\therefore n=5^4 \times 7^3$
$n^2=5^8 \times 7^6$ มีตัวประกอบ $63$ ตัว
จาก $case 1$ และ $2$ จะได้ว่า $n^2$ จะมีจำนวนที่หารลงตัว $63$ ตัว only
