ข้อ 1.5 ทำแบบนี้หรือป่าวครับ
$j^{p-1}-1 \equiv pr_j \pmod{p^2}$
$j^p-j \equiv p(j(r_j)) \pmod{p^2}$
$\sum_{j = 1}^{p-1}(j^p-j) \equiv p(r_1+2r_2+...+(p-1)r_{p-1}) \pmod{p^2}$
$(\sum_{j = 1}^{p-1}j^p)-\frac{p(p-1)}{2} \equiv p(r_1+2r_2+...+(p-1)r_{p-1}) \pmod{p^2}$
พิจรณา $p-1\geqslant k\geqslant 1$
$(p-k)^p+k^p=p^p-\binom{p}{1} (p^{p-1})k+...+\binom{p}{p-1} (p)k^{p-1}-k^p+k^p\rightarrow p^2|((p-k)^p+k^p)$
$\therefore p^2|(1^p+(p-1)^p)\wedge p^2|(2^p+(p-2)^p) ...\wedge p^2|((\frac{p-1}{2}) ^p+(\frac{p+1}{2} )^p) $
นัน่คือ $\sum_{j = 1}^{p-1}j^p \equiv 0 \pmod{p^2}$
จะได้ว่า
$-\frac{p(p-1)}{2} \equiv p(r_1+2r_2+...+(p-1)r_{p-1}) \pmod{p^2}$
$0 \equiv p(\frac{p-1}{2}+(r_1+2r_2+...+(p-1)r_{p-1})) \pmod{p^2}$
$0 \equiv \frac{p-1}{2}+(r_1+2r_2+...+(p-1)r_{p-1}) \pmod{\frac{p^2}{gcd(p^2,p)} }$
$\frac{p+1}{2} \equiv \frac{1-p}{2} \equiv r_1+2r_2+...+(p-1)r_{p-1} \pmod{p}$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร
ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ
...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป...
|