อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ dektep:
ผมอยากรู้เฉลยข้อ 82,24,107,125,155,40
ข้อ 46. ผมคิดว่าโจทย์น่าจะผิดครับ
|
ตอนนี้ผมเขียนโจทย์ใส่เศษกระดาษไว้ครับ ขอเอามาลงไว้ที่นี่ละกันครับ คนอื่นจะได้ศึกษาวิธีคิดไปด้วย หรือไม่ก็ช่วยจับผิดให้ผมด้วยครับ
46. Let $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$. Then $x^4+y^4+z^4=1$.
The inequality is equivalent to
$$\frac{x^2}{y^4+1}+\frac{y^2}{z^4+1}+\frac{z^2}{x^4+1}\geq \frac{3}{4}\Big(x^3+y^3+z^3\Big)^2.$$
By Cauchy-Schwarz inequality we get
$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{ \frac{x^2}{y^4+1}+\frac{y^2}{z^4+1}+\frac{z^2}{x^4+1} } & = & \displaystyle{ \frac{x^6}{x^4y^4+x^4}+\frac{y^6}{y^4z^4+y^4}+\frac{z^6}{z^4x^4+z^4} } \\ & \geq & \displaystyle{ \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)+(x^4+y^4+z^4)} } \\ & \geq & \displaystyle{ \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{\frac{1}{3}(x^4+y^4+z^4)^2+(x^4+y^4+z^4)} } \\ & = & \displaystyle{ \frac{3}{4} \Big(x^3+y^3+z^3\Big)^2. }\end{array}$$