อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer
เอาโจทย์ที่คิดว่าไม่ยากมากและก็ไม่ง่ายมากสำหรับเด็ก สอวน. มาให้สนุกกันครับ...
6.
$a,b,c>0$ and $a+b+c=1$ show that
$\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}$
Credit: MO2007+MO2008 ...หนังสือที่ทุกคนก็คงมี
 หวังว่าคงจะชอบกันนะครับ |
พิจรณา
$\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}\leq \frac{3}{2}\leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{a-bc}{a+bc}-3\leq \frac{3}{2}-3\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4} $
จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์
$\sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4}$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz
$(\sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc})(\sum_{cyc}(bc+ba)(ac+bc)) \geq (\sum_{cyc}bc)^2\leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc}) \geq \frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}$
ให้ $ab+bc=x,bc+ca=y,ca+ab=z$ จะได้
$\frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}=\frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} $
พิจรณา
$x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx \leftrightarrow 4(\frac{x+y+z}{2} )^2 \geq 3(xy+yz+zx)\leftrightarrow \frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} \geq \frac{3}{4} $
นั่นคือ $\sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{(\sum_{cyc}bc)^2}{\sum_{cyc}((bc+ba)(ac+bc))}=\frac{(\frac{x+y+z}{2})^2 }{xy+yz+zx} \geq \frac{3}{4} $
จาก $a+b+c=1$ จะได้ว่า
$ \sum_{cyc}\frac{b^2}{bc+ba}\cdot \frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{b}{c+a}\cdot \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{b}{1-b}\cdot \frac{c}{1-c} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc}\frac{bc}{1-(b+c)+bc} \geq \frac{3}{4}\leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{bc}{a+bc}\geq \frac{3}{4} \square$
ปล. Post ที่ 2,222 ของห้อง อสมการพอดีเลย ^^