อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer
เอาโจทย์ที่คิดว่าไม่ยากมากและก็ไม่ง่ายมากสำหรับเด็ก สอวน. มาให้สนุกกันครับ...
2.
$a,b,c>0$ such that $a+b+c=1$ show that
$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)$
Credit: MO2007+MO2008 ...หนังสือที่ทุกคนก็คงมี
 หวังว่าคงจะชอบกันนะครับ |
จาก $a+b+c=1$
$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)\leftrightarrow (a+b+c)\sum_{cyc} \frac{a^2}{b}\geq 3(\sum_{cyc} a^2)\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq 2(\sum_{cyc} a^2)$
จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์
$\sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq 2(\sum_{cyc} a^2)$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz
$(\sum_{cyc} \frac{a^3}{b})(ab+bc+ca)=(\sum_{cyc} \frac{a^4}{ab})(ab+bc+ca)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a^3}{b} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}....(1)$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz
$(\sum_{cyc} \frac{ab^2}{c})(ab+bc+ca)=(\sum_{cyc} \frac{a^2b^2}{ac})(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)^2\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{ab^2}{c} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}....(2)$
$(1)+(2)$
$\sum_{cyc} \frac{a^3}{b}+\sum_{cyc}\frac{ab^2}{c} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca}$
โดย Power Mean จะได้ว่า
$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq 2(a^2+b^2+c^2)$
$\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)^2 \geq 4(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)$
$\leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2+(ab+bc+ca)^2 \geq 2(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)$ ซึ่งเป็นจริงโดย $AM-GM \square$