วงกลม A มีพื้นที่มากกว่าวงกลม B วงกลมทั้งสองนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน Y แต่เหนือแกน X และสัมผัสกับพาราโบลา $x^2 = 4cy \ (c>0)$ และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลานี้ด้วย
อัตราส่วนระหว่างพื้นที่วงกลม A กับพื้นที่วงกลม B เป็นเท่าใด
$(1)\ 32\quad(2)\ 32\quad(3)\ 48\quad(4)\ 64$
ที่ผมจะทำต่อไปนี้ไม่เกียวกับข้อนี้นะครับ
ถ้าผมให้ $c = 1$ จะได้สมการพาราโบลาคือ $x^2 = 4y$ มีจุดโฟกัสที่ (0,1) และสมมติว่าวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่ $(0,k)$ ผ่านจุด (0,1) สัมผัสพาราโบลา (โจทย์จะคล้ายข้อสอบโควต้า มอ. ปี2554นี้เลยครับ) ดังนั้นรัศมีวงกลม = $\left|k-1\right|$
จะได้สมการวงกลมคือ $x^2+(y-k)^2 = \left|k-1\right|^2$
วงกลมสัมผัสพาราโบลา ดังนั้นเราสามารถแก้สมการหาจุดสัมผัสได้
$x^2 = 4y \quad.....(1)$
$x^2+(y-k)^2 = \left|k-1\right|^2 \quad.....(2)$
$4y + (y-k)^2 = (k-1)^2$
$y^2 + (4-2k)y + (2k-1) = 0$
ที่จุดสัมผัส ค่า y มีค่าเดียว ดังนั้น discriminant = 0
$(4-2k)^2 - 4(2k-1) = 0 \rightarrow k = 1 , 5$ แต่ $k\not= 1 $ เพราะรัศมีต้องไม่เท่ากับ 0 $ \therefore k = 5$
ที่ผมสงสัยก็คือ จากโปรแกรม sketchpad ผมสามารถวาดวงกลมได้ 2 วง ที่ $k = \dfrac{1}{2} $กับ $k = 5$
เป็นไปตามที่ข้อสอบโอลิมปิคกำหนดให้ แต่ทำไมเวลาคำนวณจึงได้ $k = 5$ ค่าเดียว
ผมพลาดตรงไหนครับ
