$\quad\quad$ผมกำลังคิดว่า ถ้าเราไปเจอสมการอื่นๆ ที่เราไม่รู้ลักษณะกราฟของมัน และเราก็ไม่รู้ด้วยว่า ตัวแปร $x, y$ มีเงื่อนไข (ทั้ง ๆ ที่มันมีเงื่อนไขในตัวสมการของมันเองซึ่งเราไม่รู้) เราจะใช้การแก้สมการหาจุดสัมผัสได้หรือไม่ เพราะโจทย์ลักษณะนี้ พบเห็นมากมาย ทั้ง ม.ต้น และ ม.ปลาย และโดยทั่วไปก็ใช้การอ้างเหตุผลว่า ที่จุดสัมผัส discriminant = 0 (แบบเรีบน สสวท ก็อ้างแบบนี้) หรือว่าทำกันผิด ๆ มาตลอด ตัวอย่างเช้นโจทย์ข้อนี้
$\quad\quad$ซึ่งที่ถูกแล้วควรใช้ calculus มาแก้ปัญหา โดยอ้างว่า ที่จุดสัมผัส ความชันเส้นสัมผัสของทั้ง 2 สมการ ต้องเท่ากัน
$x^2 = 4y\quad.....(1)$
$y' = \dfrac{x}{2} $
$x^2 + (y-k)^2 = (k-1)^2\quad.....(2)$
$2x + 2(y-k)y' = 0\rightarrow x+(y-k)y' = 0$
$x + (y-k)\dfrac{x}{2} = 0$
$x\left(1+\dfrac{y-k}{2}\right) = 0$
$x = 0$ หรือ $y = k-2$
กรณีที่ 1 ถ้า $x = 0$ จะได้ $y = 0$ ดังนั้นจุดสัมผัสคือ $(0,0)$ แทนใน $(2)$ จะได้ $k = \dfrac{1}{2}$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงที่หนึ่ง
กรณีที่ 2 ถ้า $y=k-2$ แทนใน $(1)$ จะได้ $x=\pm 2\sqrt{k-2} $ ดังนั้นจุดสัมผัสคือ $(-2\sqrt{k-2},k-2) , (2\sqrt{k-2},k-2)$ แทนใน $(2)$ จะได้ $k=1,5$ แต่ $k\not= 1$ ดังนั้น $k=5$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงที่สอง
หมายเหตุ ช่วยวิจารณ์ความคิดผมที่พูดไว้ตอนแรก ๆ หน่อยครับว่า ถูก หรือผิด หรือทำได้ ทำไม่ได้ อย่างไร
|