เนื่องจากผู้ตอบไม่ได้เข้าไปนั่งเรียนกับผู้ถาม ดังนั้นจึงไม่ทราบว่า อาจารย์สอนแบบไหน สอนอะไรไปบ้างแล้ว และยังไม่ได้สอนอะไร อาจารย์ใช้นิยามอันไหน อาจารย์ต้องการให้ผู้เรียนทำโจทย์ยังไง rigorous แค่ไหน ดังนั้นคำตอบที่แปะให้บางครั้ง อาจจะไม่ตรงกับความต้องการของผู้ถามได้ครับ
อย่างเช่นเรื่องความต่อเนื่องเนี่ย ถ้าเป็นเอ๊าะๆก็อาจใช้ลิมิต ถ้าโตขึ้นก็อาจใช้ $\epsilon,\delta$ หรือบางคนก็ใช้ sequence (อย่างที่คุณ passer-by ทำข้างต้น) หนักขึ้นไปก็อาจมีการใช้ทฤษฎีจาก topology คำตอบมันจึงเป็นได้หลายแบบครับ
อย่างข้อ 1. ผมคิดว่าทำแบบนี้ก็ได้มั้งครับ
หลังจากที่แสดงว่า $f(0)=1$ ตามแบบคุณ passer-by แล้ว เราทำต่อโดยให้ $a\in\mathbb R$ และจากที่ $$f(a+h)=f(a)f(h)$$ ดังนั้น $$\lim_{h\to0} f(a+h)=\lim_{h\to0} f(a)f(h)$$ แต่ $f(a)$ เป็น constant จึงดึงออกได้ เราจึงได้ว่า $$\lim_{h\to0} f(a+h)= f(a) \lim_{h\to0} f(h)$$ เนื่องจากโจทย์ให้มาว่า $f$ ต่อเนื่องที่ $0$ ดังนั้น $$\lim_{h\to0} f(h)=f(0)=1$$ เราจึงได้ว่า $$\lim_{h\to0} f(a+h)= f(a)\cdot1 =f(a)$$ เนื่องจากเมื่อ $h\to0$ แล้ว $a+h\to a$ ดังนั้นเราจึงได้ว่า $$\lim_{x\to a} f(x)= f(a)$$ นั่นคือ $f$ ต่อเนื่องที่จุด $a$ ครับ
|