1.
เพราะ $ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots = \ln 2 $
ดังนั้น $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\bigg( \frac{1}{n(n+1)} \bigg) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} = \ln 2 -(1-\ln2) = 2\ln 2 -1 $$
12.
จาก Fourier series ของ $x^2$ บน $ [-\pi,\pi] $
$$ x^2 = \frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx $$
เนื่องจาก series converges uniformly (By M -Test) ดังนั้น สามารถ integrate term-by-term (จาก 0 ถึง t) และจะได้
$$ \frac{t^2}{3}= \frac{t\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^n}{n^3}\sin nt \quad(-\pi \leq t \leq \pi)$$
แทน $ t= \frac{\pi}{2}$ จะได้ $$ \frac{1}{{1^3 }} - \frac{1}{{3^3 }} + \frac{1}{{5^3 }} - \frac{1}{{7^3 }} + ... = \frac{\pi^3}{32}$$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|