[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -MIT-

ง่ายๆคือกระทู้แก้โจทย์มาราธอนในแนวคณิตศาสตร์โอลิมปิคนั่นแหละครับ

ขอเริ่มก่อนละกันครับ จะมีคนเล่นด้วยรึเปล่า

________________________________________________________________________

1. ให้ $x,y\in R^+$ จงแก้สมการ $f(x)+g(y)=log(1+x+y+xy)$

Ans

ผมคิดได้
$f(x)=log(1+x)+c$
$g(x)=log(1+x)-c$
เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ใดๆและ $c\in R$

แทน $x=y=9$ จะได้
$f(9)+g(9)=log(100)=2\rightarrow f(9)+g(9)=2$
แทน $y=9$ จะได้ $f(x)+g(9)=1+log(1+x)=f(x)+2-f(9)\rightarrow f(x)=log(1+x)+(f(9)-1)$
แทน $x=9$ จะได้ $f(9)+g(y)=1+log(1+y)=g(y)+2-g(9)\rightarrow g(y)=log(1+y)+(g(9)-1)$
แต่ $f(9)-1=1-g(9)$ ให้เท่ากับ $c$
จะได้ $f(x)=log(1+x)+c,g(x)=log(1+x)-c$

ผมว่ามันแปลกๆยังไงไม่รู้แหะ รบกวนเซียนทั้งหลายช่วยดูให้หน่อยครับ

2.ให้ $a,b,c \in \mathbb{R} $ โดยที่ $a^4+b^4+c^4=a^2+b^2+c^2$
จงพิสูจน์ว่า
$$a^2+b^2+c^2 \geq a^2b+b^2c+c^2a$$

โจทย์แต่งเองถ้าซ้ำกับที่ไหนก็ขอโทษด้วยนะครับ