[M@gpie]

เริ่มจากเราหาค่า eigenvalue ได้จากสมการพหุนาม \( p( \lambda ) = det( A- \lambda I )\) เรียกว่า สมการลักษณะ (characteristic equation)

ทฤษฏีบทของเคย์เลย์ - เฮลมิลตัน คือ เมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์จะสอดคล้องกับสมการลักษณะของเมทริกซ์นั้นๆเสมอ

ตัวอย่างเช่น \( A = \bmatrix{ 1 & 1 \\ 0 & 1}\)
หา eigenvalue ได้จาก \( det \bmatrix{ 1- \lambda & 1 \\ 0 & 1 - \lambda } = 0 \) จะได้สมการ \( \lambda ^2 - 2 \lambda + 1 = 0 \)
โดยทฤษฎีบทของเคย์เลย์-เฮลมิลตันจะได้ว่า \( A^2 - 2A + I = 0 \)
นั่นคือ \( A^2 = 2A - I \) จะเห็นว่า เราสามารถหาค่า \( A^2 \) ได้
ถ้าเราเอา A คูณสองข้างจะได้ \( A^3 = 2A^2 - A = 2(2A-I) - A = 3A - 2I \)
โดยวิธีเดียวกันนี้ จะเห็นว่า \( A^n \) สามารถเขียนอยู่ในรูปของเมทริกซ์ A ที่มีเลขชี้กำลังไม่เกิน 1 ได้เสมอ โดยไม่ต้องเอา A คูณกัน n ครั้ง