เป็นเรื่องของ similar matrix ครับ
ถ้า A similar กับ B เราสามารถเขียน A = PBP
-1 เมื่อ P เป็น invertible matrix
การประยุกต์ใช้เกี่ยวกับเรื่องนี้คือกรณีที่เราสามารถทำให้ B เป็น diagonal matrix (matrix ที่สมาชิกที่ไม่ได้อยู่ตามแนวเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด) ซึ่ง matrix ชนิดนี้เมื่อนำมายกกำลังมันจะคำนวณได้ง่ายโดยนำสมาชิกตามแนวเส้นทแยงมุมหลักมายกกำลังเท่านั้น
จากนั้นเราก็สามารถใช้เอกลักษณ์
A
k = PB
kP
-1
มาช่วยคำนวณได้
matrix ที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่า diagonalizable matrix
เรื่องนี้จะเกี่ยวโยงกับ eigenvalue และ eigenvector ที่น้อง Mag@pie เล่ามาตรงที่มีทฤษฎีว่า
A จะ diagonalizable ถ้า ทุก eigenvalue ของ A มีค่าแตกต่างกันทั้งหมด ยิ่งกว่านั้นเราสามารถสร้าง matrix B ได้โดยการนำ eigenvalue ของ A มาใส่ตามแนวเส้นทแยงมุมหลัก (ใส่เรียงกันอย่างไรก็ได้) และสร้าง matrix P ได้โดยการนำ eigenvector ที่สัมพันธ์กับ eigenvalue แต่ละค่ามาเรียงต่อกันทีละ column (ต้องเรียงตามลักษณะการเรียงกันของ eigenvalue ใน matrix B)
ตัวอย่างเช่น
\( \Large{ A = \bmatrix{1 & 1 \\ 1 & 1} } \)
\( \Large{ B = \bmatrix{0 & 0 \\ 0 & 2} } \)
\( \Large{ P = \bmatrix{1 & 1 \\ -1 & 1} } \)
จะได้ว่า A = PBP
-1
ดังนั้น \[ \Large{ A^n = PB^{n}P^{-1} = \bmatrix{2^{n-1} & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n-1}} } \]
ซึ่งจะเห็นว่าเป็นจริงจากการคำนวณโดยตรง
ป.ล. A มี eigenvalue คือ 0 และ 2
0 มี eigenvector คือ column แรกของ P
2 มี eigenvector คือ column ที่สองของ P