อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -MIT-
P
Prove that if $n\in N$ then
\[\frac{(2n)!}{n!n!} > \frac{4^n}{2\sqrt{n}}\]
|
ที่จริง ถ้าใช้เครื่องหมาย มากกว่า ต้องเป็น จำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ $2$ ครับ
ให้ $P(n)$ แทนข้อความ "$ \dfrac{(2n)!}{n!n!} > \dfrac{4^n}{2\sqrt{n}}$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ $2$"
(1) การแสดงว่า $P(2)$ เป็นจริง
เพราะว่า $6 > 4\sqrt{2} = 5.656$ เพราะฉะันั้น $P(2)$ เป็นจริง
(2) สมมุติให้ $k \geqslant 2$ และ $P(k)$ เป็นจริง
ต้องการแสดงว่า $P(k+1)$ เป็นจริง
เพราะว่า $\dfrac{(2k)!}{k!k!}> \dfrac{4^k}{2\sqrt{k}}$ จากการสมมุติว่า $P(k)$ เป็นจริง
$\dfrac{(2k+2)!}{(k+1)!(k+1)!}> \dfrac{4^k(2k+1)2(k+1)}{2\sqrt{k}(k+1)(k+1)} =\dfrac{4^k(2k+1)2}{2\sqrt{k}(k+1)} $
เราสามารถพิสูจน์โดยไม่ยากว่า $\dfrac{2k+1}{\sqrt{k}(k+1 )} > \dfrac{2}{\sqrt{k+1} } $
เนื่องจาก $ (2k+1)^2 > 4k(k+1) $ ทุกจำนวนเต็มบวก $k$
$ \dfrac{(2k+1)^2}{k(k+1)}> 4 $
คูณด้วย $\dfrac{1}{k+1}$ ทั้งสองข้าง และถอดรากที่สองทั้งสองข้าง จะได้ $\dfrac{2k+1}{\sqrt{k}(k+1 )} > \dfrac{2}{\sqrt{k+1} } $ ตามต้องการ
เพราะฉะนั้นจะได้ว่า $\dfrac{(2k+2)!}{(k+1)!(k+1)!}> \dfrac{4^k(2k+1)2(k+1)}{2\sqrt{k}(k+1)(k+1)} =\dfrac{4^k(2k+1)2}{2\sqrt{k}(k+1)} $
$> \dfrac{4^{k+1}}{2\sqrt{k+1} } $ ดังนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง
จากการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์เราจะได้ว่า $P(n)$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ $n$ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ $2$