อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer
Prove that for every positive integer $a>1$ there exist infinitely many positive integers $n$ such that $n|a^n+1$
|
Outline:
กรณี a เป็นเลขคู่ ง่ายมากครับ
แค่ take $n_1 =1$ และ $ n_{i+1}= a^{n_i}+1$
มันจะยาก กรณีเลขคี่ครับ ซึ่งอาจต้องแบ่งเป็น
กรณีที่ 1 คือ $a+1 = 2^t \cdot M $ โดย M เป็นเลขคี่ > 1
โดย take $n_1 =1 $ และ $n_{i+1} = \frac{a^n_i+1}{2^t}$
พิสูจน์ให้ได้ว่า $n_i $ เป็นเลขคี่ทั้งหมด โดย Induction และใช้ fact ที่ว่า $n_i | n_{i+1}$ เพื่อพิสูจน์ว่า $ n_i$ ที่สร้างขึ้นมา works for all i
กรณีที่ 2 คือ $a+1 = 2^t \Rightarrow a^2+1 = 2^m \cdot b $ สำหรับเลขคี่ b>1
อ้าง กรณี 1 ช่วย โดย apply กับ $a^2$
จากนั้น take $N_i = 2n_i$