[กิตติ]

พอดีได้หนังสือมาอ่านชื่อ...Maxima and Minima without Calculus เขียนโดย Ivan Niven ออกมาตั้งแต่ในปี 1981 เป็นหนังสือในซีรี่ย์ของThe Dolciani Mathematics Expositions...เล่ม6 สนับสนุนโดยสมาคมคณิตศาสตร์ของอเมริกา......ผมอ่านไปเรื่อยๆ อ่านได้ไม่กี่หน้า ไม่รู้ว่าจะจัดลงห้องไหนเอาลงห้องนี้แล้วกัน เอาไว้อ่านกันสนุกๆ
พิมพ์ไปเซฟไปแล้วกันครับ.....ไม่งั้นหายหมด

ผลบวกและผลคูณ(Sums and Product)
ในบทนี้อ่านดูๆแล้วจะมีความคล้ายกับการใช้เรื่องของพาราโบลาด้วย.....
ลองดูปัญหาที่ถามกันว่า"จงหาจำนวนนับสองจำนวนที่รวมกันได้60 แล้วผลคูณของสองจำนวนนั้นมีค่ามากที่สุดเป็นเท่าไหร่".คำตอบคือ $30$ และ $30$.โดยคู่จำนวนอื่นๆอย่างเช่น $20$ และ $40$ ให้ผลคูณที่น้อยกว่า.หากเราลองขยายโจทย์ต่อออกไปเป็น"จงหาจำนวนนับสามจำนวนที่มีผลรวมเท่ากับ 60และผลคูณของทั้งสามจำนวนมีค่ามากที่สุด" จะได้ว่าทั้งสามจำนวนนี้คือ $20,20$ และ $20$. ถ้าโจทย์ถามทำนองเดียวกันแต่เปลี่ยนเป็นจำนวนนับสี่จำนวน คำตอบที่ได้ก็จะเป็น$15,15,15$และ $15$. แนวคิดที่ลองสังเกตพบคือ ทำให้จำนวนทั้งหมดนั้นเท่ากัน

มาดูคำถามอีกแบบ "จงหาจำนวนนับสองจำนวนที่คูณกันแล้วได้ $64$ และผลบวกของทั้งสองจำนวนมีค่าน้อยที่สุด" คำตอบคือ $8$ และ $8$ ทำไมถึงถามว่าเป็นค่าต่ำสุด ไม่ใช่ค่าสูงสุด ก็เพราะว่าไม่มีจำนวนคู่ใดๆที่ทำให้เกิดค่าสูงสุด เราอยากได้ค่ามากที่สุดเท่าไหร่ก็เลือกค่ามาได้เอง อย่างเช่นลองเลือก$64000$ กับ $0.001$ ซึ่งก็เข้ากับที่ถาม. เมื่อลองเพิ่มเป็นสามจำนวนนับในคำถามเดียวกัน คำตอบที่ได้ก็คือ$4,4$ และ $4$.....คำถามเหล่านี้เป็นแนวคิดทั่วๆไปสำหรับบทนี้

กำลังสองมีค่าเท่ากับศูนย์หรือเป็นบวก(Any Square Is Postive or Zero)
กำลังสองของจำนวนจริงใดๆมีค่าเป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ โดยที่กำลังสองเท่ากับศูนย์เมื่อจำนวนนั้นคือศูนย์
ทฤษฎีบท 2.2a....สำหรับค่าคงที่$c$, ค่าสูงสุดของ$cx-x^2$ สำหรับทุกๆจำนวนจริง $x$ คือ $\frac{c^2}{4} $ เกิดขึ้นที่ค่า$x=\frac{c}{2} $

$$cx-x^2=\frac{c^2}{4}-\left(\,x-\frac{c}{2} \right)^2 $$

จะเห็นว่าค่าของ$\left(\,x-\frac{c}{2} \right)^2\geqslant 0$ ดังนั้นค่าสูงสุดหรือมากที่สุดของ$cx-x^2$ คือ $\frac{c^2}{4}$ เมื่อ$x=\frac{c}{2}$ สำหรับค่านี้ไม่มีค่าต่ำสุดเพราะว่าเมื่อค่า$x$ มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของ$cx-x^2$ ก็จะน้อยลงไปเรื่อยๆเช่นกัน.การประยุกต์ใช้ ถ้าให้หาค่าสูงสุดของ $24-4x^2$ เราก็แปลงเป็น $4(6x-x^2)$ แล้วใช้ความรู้ข้างต้น เราจะรู้เลยว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นที่ค่าของ$x=3$ และค่าสูงสุดของ $24-4x^2$ คือ $36$.เช่นเดียวกับอีกตัวอย่างหนึ่ง ให้หาค่าสูงสุดของ $50+24x-4x^2$ เราก็ลองแค่$24x-x^2$ เก็บค่า$50$ ไว้ก่อน ก็จะได้ว่าค่าสูงสุดของ $50+24x-4x^2$ คือ $86$

ทฤษฎีบทย่อย 1....ค่าต่ำสุดของ$x^2-cx$ เท่ากับ $-\frac{c^2}{4} $ เกิดขึ้นที่ค่า$x=\frac{c}{2} $......เพราะว่า $x^2-cx$ คือ $-(cx-x^2)$

ทฤษฎีบทย่อย 2....ถ้าตัวแปร$x,y$ สอดคล้องกับ $x+y=c$ ผลคูณของ$xy$ มีค่าสูงสุดเมื่อ$x=y=\frac{c}{2}$
สังเกตเห็นว่า$y=c-x$ และ $xy=x(c-x)=cx-x^2$.....แล้วใช้ทฤษฎีบท 2.2a

ทฤษฎีบทย่อย 3....ถ้าตัวแปรที่มีค่าเป็นบวกสองจำนวนคือ$x,y$ มีผลคูณเท่ากับ$c$ ซึ่ง$c$ เป็นค่าคงที่ที่มีค่าเป็นบวก แล้วผลบวกที่มีค่าน้อยที่สุดของ$x+y$ จะเกิดขึ้นเมื่อ $x=y=\sqrt{c} $
$x+y=x+\frac{c}{x} =(\sqrt{x} -\sqrt{\frac{c}{x} } )^2+2\sqrt{c}$
ค่าน้อยที่สุดของ$x+y$ เกิดขึ้นเมื่อกำลังสองเป็นศูนย์ ดังนั้น$\sqrt{x} =\sqrt{\frac{c}{x} }$ ซึ่ง$x=\sqrt{c}$ และ $y=\sqrt{c}$
สิ่งที่ต้องย้ำเตือนคือ $x,y$ ต้องเป็นค่าบวกเท่านั้น ถ้าไม่กำหนด เราจะหาค่าต่ำสุดหรือน้อยที่สุดของ$x+y$ไม่ได้ ลองดูตัวอย่างนี้ ให้$xy=25$ แล้ว$x,y$ เป็นค่าลบได้ เราจะสร้างผลบวกมีค่าน้อยเท่าไหร่ก็ได้ตามต้องการ.