[กิตติ]

ตัวอย่างที่1...
จงพิสูจน์ว่า ผลบวกของจำนวนจริงบวกใดๆกับส่วนกลับของตัวมันเอง มีค่าน้อยที่สุดคือ $2$

ให้หาผลบวกของ$x+\frac{1}{x} $....เราประยุกต์ทฤษฎีบทย่อย 3
เห็นชัดๆว่า$x\times \frac{1}{x}=1$
ค่าน้อยที่สุดเกิดขึ้นเมื่อ $x=\frac{1}{x}$ ,$x^2=1$ ,$x=1$
เราไม่เลือก$x=-1$ เพราะโจทย์กำหนดว่า$x$ เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้นค่าน้อยที่สุดของ$x+\frac{1}{x}$ คือ $2$

ตัวอย่างที่2...
ให้$a,b$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก,จงหาค่าน้อยที่สุดของ$ax+\frac{b}{x} $สำหรับทุกค่าของ $x$ ที่เป็นจำนวนบวก

ประยุกต์ทฤษฎีบทย่อย 3อีกเช่นกัน
$ax \bullet \frac{b}{x}= ab$ ดังนั้นค่าน้อยที่สุดของ$ax+\frac{b}{x}$ เกิดขึ้นเมื่อ$ax=\frac{b}{x}$
$x^2=\frac{b}{a} $ ,$x=\sqrt{\frac{b}{a} } $
ค่าน้อยที่สุดเท่ากับ $2\sqrt{ab} $

ตัวอย่างที่3...
ให้$a,b$ และ$c$ เป็นค่าคงที่ที่เป็นบวก,สำหรับจำนวนจริง$x,y$ ที่สอดคล้องกับ $ax+by=c$ จงหาค่ามากที่สุดของ$xy$

ให้ $u=ax$ และ $v=by$ จะได้ว่า $u+v=c$...ประยุกต์ทฤษฎีบทย่อย 2
$uv$ มีค่ามากที่สุดเมื่อ $u=v=\frac{c}{2} $
$uv=abxy$ หรือ $xy=\frac{uv}{ab} $....ซึ่ง$uv$ ที่มีค่ามากที่สุดจะทำให้ค่าของ $xy$ มากที่สุดด้วย
$u=v=\frac{c}{2}=ax=by$ ,$x=\frac{c}{2a} $ ,$y=\frac{c}{2b}$
ค่ามากที่สุดของ$xy$ เท่ากับ $\frac{c^2}{4ab}$