[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

1.ให้ a,b,c ไม่เป็นจำนวนจริงลบ ซึ่ง $a+b+c=3$ จงพิสูจน์ว่า

$$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\geqslant 6$$


2.ให้ $a\geqslant c\geqslant 0$ และ $b\geqslant d\geqslant 0$ จงพิสูจน์ว่า

$$(a+b+c+d)^2\geqslant 8(ad+bc)$$


3.ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า

$$\frac{x^3+y^3+z^3}{3xyz}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{x+y+z}\geqslant 2$$

ข้อเเรก จาก$Cauchy's$ จะได้ว่า $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+ac+bc$ $\Rightarrow$ $a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc \geqslant 2(ab+ac+bc)$
เเต่ จาก $Chebysheb's$ ได้ว่า $3(a(b)+c(a)+b(c)) \geqslant (a+b+c)^2$ $\Rightarrow$ $ab+bc+ac \geqslant 3$
ข้อ 2(วิธีใหม่) จาก $ AM.-GM. Inequality$ จะได้ว่า $(a+c)+(b+d) \geqslant 2\sqrt{(a+c)(b+d)}$
$(a+c)(b+d)=ab+ad+bc+cd$ เเละจาก $(a-c)(b-d) \geqslant 0$ จะได้ว่า $ab+ad+bc+cd \geqslant 2(ad+bc)$ ท่าทางจะน่าเข้าใจมากกว่า