ใช้ ทฤษฎีไบโนเมียลและขั้นตอนวิธีการหาร ก็น่าจะพอนะครับ
\(5n^{13} + 13n^5 + 9an\) หารด้วย 65 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็มบวก k และ m ที่ทำให้ \[5n^{13} + 13n^5 + 9an = 65k \quad \cdots (1) \]\[5(n+1)^{13} + 13(n+1)^5 + 9a(n+1) = 65m \quad \cdots (2) \]
(2) - (1) : \[5[(n+1)^{13} - n^{13} ] + 13[(n+1)^5 - n^5] + 9a = 65(m - k) \]
\[5[{13 \choose 1}n^{12} + {13 \choose 2}n^{11} + \cdots + {13 \choose 12}n + 1] + 13[{5 \choose 1}n^{4} + {5 \choose 2}n^{3} + \cdots + {5 \choose 4}n + 1] + 9a = 65(m-k) \]
จะเห็นได้ว่าเกือบทุกพจน์ทางด้านซ้ายมือหารด้วย 65 ลงตัว (เมื่อคูณเข้าไป) ยกเว้นพจน์ 5(1) + 13(1) + 9a ส่วนทางด้านขวามือหารด้วย 65 ลงตัวแน่นอน
นั่นคือ 18 + 9a ต้องหารด้วย 65 ลงตัว กล่าวคือจะมีจำนวนเต็มบวก t ที่ทำให้ \(18 + 9a = 65t \Rightarrow a = \frac{65t - 18}{9} = \frac{63t - 18 + 2t}{9} = 7t - 2 + \frac{2t}{9} \)
แต่ a เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น t น้อยสุดที่ทำำให้ a เป็๋นจำนวนเต็มบวก คือ t = 9 และจะได้ว่า a = 63 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้ \(5n^{13} + 13n^5 + 9an\) หารด้วย 65 ลงตัว
