[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อต่อไปข้อนี้แล้วกันนะครับ ดูผิวๆเหมือนจะยาก แต่จริงๆแล้วไม่ยากครับ

Let $a,b,c>0$ for which $a+b+c=3$
Prove that
\[3 \ge \frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{c^2+a^3+b^4}\]

my_soln

by Chebyshev $$3(a^2(1)+b^2(b)+c^2(c^2)\geqslant (b+c^2+1)(a^2+b^2+c^2))$$
$$\Rightarrow$$ $$a^2+b^3+c^4\geqslant (b+c^2+1)$$ $$\because$$ $$a^2+b^2+c^2\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$$
so $$\frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}\leqslant \frac{b+c+bc}{b+c^2+1}$$
in the same we get that $$\frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{c^2+a^3+b^4} \leqslant \frac{b+c+bc}{b+c^2+1}+\frac{c+a+ca}{c+a^2+1}+\frac{a+b+ab}{a+b^2+1} ...(*)$$
and consider $$b+c+bc\leqslant \frac{4(b+c)+(b+c)^2}{4},\frac{1}{b+c^2+1} \leqslant \frac{3}{(b+c+1)(c+2)}$$ by Chebyshev and Am.-Gm. inequality
and we know that $$\frac{12(b+c)^2+3(b+c)^2}{4(b+c+1)(c+2)}\leqslant 1$$
Then by ..(*) $$3\geqslant \frac{b+c+bc}{a^2+b^3+c^4}+\frac{c+a+ca}{b^2+c^3+a^4}+\frac{a+b+ab}{a^2+c^3+b^4}$$
Which is true