[nooonuii]

โจทย์พวกนี้ใช้ trick เดียวกันหมดคือ แทนค่าตัวแปรโดย $g(x),g^2(x),g^3(x),...$

ซึ่ง $g(x)$ จะเป็น periodic 1-1 function เมื่อแทนค่าไปจนครบคาบสมการจะวนกลับมาที่เดิม

ที่เหลือก็แก้ระบบสมการออกมาครับ

ลองทำข้อง่ายข้อ $12$ ให้ดูละกัน

ให้ $g(x)=\dfrac{1}{1-x}$

จะได้ $g^2(x)=1-\dfrac{1}{x}$

$g^3(x)=x$

สมการเขียนได้ในรูป

$f(x)+f\circ g(x)=x$______(1)

แทนค่า $x=g(x),g^2(x)$ จะได้อีกสองสมการ

$f\circ g(x)+f\circ g^2(x)=g(x)$__________(2)

$f\circ g^2(x)+f(x)=g^2(x)$_____________(3)

แืทนค่า $f\circ g(x)=x-f(x)$ จาก (1) ลงไปใน (2) ได้

$x-f(x)+f\circ g^2(x)=g(x)$

$f\circ g^2(x)=f(x)+g(x)-x$

แทนค่ากลับไปใน (3) ได้

$f(x)+g(x)-x+f(x)=g^2(x)$

$f(x)=\dfrac{1}{2}\Big(x-g(x)+g^2(x)\Big)$

$=\dfrac{x^3-x+1}{2x(x-1)}$