อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii
พยายามหาทางเอาเงื่อนไขโจทย์ที่ว่า $(a,b)=1$ มาใช้ครับ
ก็ลองผิดลองถูกไปเรื่อย version แรกที่ึ่คิดไว้ยาวกว่านี้มากเลยครับ
เพิ่งมาเจอวิธีนี้ตอนหลัง ลองเอาโจทย์คล้ายๆกันไปทำดูครับ
$(a,b)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ หรือ $3$
|
ให้ $d=(a+b,a^2-ab+b^2)$ จะได้ $d|(a+b)^2-(a^2-ab+b^2)\leftrightarrow d|3ab$
จะได้ $d|3a(a+b)-3ab\leftrightarrow d|3a^2$ และ $d|3b(a+b)-3ab\leftrightarrow d|3b^2$
นั่นคือ $d|(3a^2,3b^2)\leftrightarrow d|3(a,b)^2\leftrightarrow d|3$ ดังนั้น $d=1 หรือ 3$