ข้อ 1 เป็นโจทย์ IMO ปีเก่าๆ ปี 1960 ลองไปค้นๆดูครับ
ข้อ 2 ให้ $[x]$ แทนส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของ $x$ และ $(x)$ แทนส่วนที่เป็นทศนิยมของ $x$ (ผมกำหนดขึ้นมาเอง จริงๆ เขาใช้สัญลักษณ์ปีกกาเเต่มันดันพิมพ์ไม่ติด)
จะได้ว่า $x=[x]+(x)$
จากโจทย์ $\sqrt{4n^2+n}=\sqrt{n^2(4+\frac{1}{n})}=n\sqrt{4+\frac{1}{n}}$
ถ้า $n=1$ จบ...
สมมติ $n>1$ จะได้ว่า $[n\sqrt{4+\frac{1}{n}}]=2n$
เพราะฉะนั้น $(n\sqrt{4+\frac{1}{n}})=n\sqrt{4+\frac{1}{n}}-[n\sqrt{4+\frac{1}{n}}]=\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2n$
สมมติว่า $n\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2n \geq \frac{1}{4}$
$n\sqrt{4+\frac{1}{n}}\geq 2n+\frac{1}{4}$
เมื่อนำมายกกำลังสองจะได้ว่า $0\geq \frac{1}{16}$ ขัดแย้ง
ดังนั้นที่สมมติว่า $\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2n \geq \frac{1}{4}$ ไม่จริง
เพราะฉะนั้น $\sqrt{4+\frac{1}{n}}-2n < \frac{1}{4}$ ตามต้องการ
ข้อ 3
ให้ $z=|x^n-x^m|$ $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก $0< x <1$ โดยไม่เสียนัยสมมติ $m>n$ จะได้ $z=|x^m-x^n|=x^n-x^m$
จะหาค่าสูงสุดของ $z$
ให้ $y=x^{m-n}$ โดยอสมการ Weight AM-GM
\[\begin{array}{cl}
& x^n-x^m \\
= & x^n(1-x^{m-n}) \\
= & y^{\frac{n}{m-n}}(1-y) \\
= & (y^n(1-y)^{m-n})^\frac{1}{m-n} \\
= & ((\frac{n}{m-n})^n(\frac{m-n}{n}y)^n(1-y)^{m-n})^{\frac{1}{m-n}} \\
= & (\frac{n}{m-n})^{\frac{n}{m-n}}((\frac{m-n}{n}y)^n(1-y)^{m-n})^{\frac{1}{m-n}} \\
\leq &(\frac{n}{m-n})^{\frac{n}{m-n}}(\frac{n\cdot(\frac{m-n}{n}y)+(m-n)(1-y)}{n+m-n})^{\frac{n+m-n}{m-n}} \\
\end{array} \]
จัดรูปต่อจะได้ว่า $x^n-x^m \leq (m-n)(\frac{n^n}{m^m})^{\frac{1}{m-n}}$ อสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $x=(\frac{n}{m})^{\frac{1}{m-n}}$
ในโจทย์คือกรณีที่ $n=1$ และ $m=4$
เพราะฉะนั้น $x-x^4 \leq (4-1)\sqrt[3]{\frac{1}{4^4}}=4.72$ เกิดขึ้นเมื่อ $x=\frac{1}{4}^{\frac{1}{3}}$
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!"
|