อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer
ตอนแรกนั่ง Brute force ก็สวยดีแต่ไม่งาม 55+
WLOG $a \ge b \ge c$
เอา 3 ไปลบ จะได้อสมการสมมูลกับ
$\sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge 0$
โดย Power mean
$2b^2+2c^2 \ge (b+c)^2 \rightarrow \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2}$
เนื่องจาก
$2a^2-(b^2+c^2) \ge 2b^2-(c^2+a^2) \ge 2c^2-(a^2+b^2)$
และ
$\frac{1}{a^2+2b^2+2c^2} \ge \frac{1}{2a^2+b^2+2c^2} \ge \frac{1}{2a^2+2b^2+c^2} $
โดย Chebychev inequality จะได้ว่า
$\sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2} \ge \frac{2a^2+2b^2+2c^2-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(c^2+a^2)}{3}(\frac{1}{a^2+2b^2+2c^2} + \frac{1}{2a^2+b^2+2c^2} + \frac{1}{2a^2+2b^2+c^2}) = 0$
$\therefore \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2} \ge 0 \ \ \ \square$
|
$ \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+(b+c)^2} \ge \sum_{cyc} \frac{2a^2-(b^2+c^2)}{a^2+2b^2+2c^2}$
มาได้อย่างไร ครับ
