อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ShaDoW MaTH
กำหนดให้ a,b,c >0
พิสูจน์ว่า$ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq\frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a} $
|
อสมการสมมูลกับ
$ \Big(\dfrac{a}{b}-\dfrac{c+a}{c+b}+1\Big)+\Big(\dfrac{b}{c}-\dfrac{a+b}{a+c}+1\Big)+\Big(\dfrac{c}{a}-\dfrac{b+c}{b+a}+1\Big)\geq 3$
$\dfrac{b^2+ca}{b(b+c)}+\dfrac{c^2+ab}{c(c+a)}+\dfrac{a^2+bc}{a(a+b)}\geq 3$
โดย AM-GM เพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$
ซึ่งสมมูลกับ
$\Big(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{b}\Big)\Big(\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{c}\Big)\Big(\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{a}\Big)\geq (a+b)(b+c)(c+a)$
แต่จากอสมการโคชี
$\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{b}\geq \dfrac{(a+b)^2}{c+b}$
$\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{c}\geq \dfrac{(b+c)^2}{a+c}$
$\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{a}\geq \dfrac{(c+a)^2}{b+a}$
คูณกันทั้งหมดจะได้อสมการที่ต้องการ