[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ลองข้อนี้ดูนะครับ

Let $a,b,c>0$
Prove that
$$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2 \ge 6(a-b)(b-c)(c-a)$$

มั่วนิดๆครับอย่าถือสา 555+

my_soln

ให้ $x=a+b,y=b+c,z=c+a$ เเละ $WLOG$ ว่า $z\leqslant y\leqslant x$
จะได้ $$(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2+3(a-b)^2+3(b-c)^2+3(c-a)^2 \ge 6(a-b)(b-c)(c-a)$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} x^2y^2+3\sum_{cyc} xy^2 \geqslant 3\sum_{cyc} x^2y+\sum_{cyc} x^2yz$$
ดังนั้น เราจึงต้องการ $$\sum_{cyc} xy^2\geqslant \sum_{cyc} x^2y ...(*)$$
เเละ $$\sum_{cyc} x^2y^2 \geqslant \sum_{cyc} x^2yz ...(**)$$
$$...(*)\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{x^2}(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})\geqslant \sum_{cyc} \frac{1}{x^2}(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})\geqslant 0$$
$$...(**) \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{x}{z}(y-z) \ge \sum_{cyc} \frac{x}{z}(y-z)(z-x) \ge 0$$
โดยอสมการ 2 พจน์สุดท้ายเป็นจริงจาก เเละ $Schur's$

อ่าว มีคนเขียน SOLN เเล้วเหรอเนี่ย (บรรทัดเดียวอีก)
ว่าเเต่คุณ #104 ทำไมเขียนออกมาในรูปแบบนั้นเก่งจังครับ ทำอย่างไร