อ้างอิง:
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1.1 $(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a-b+c-d)^2+(a-b-c+d)^2=4(a^2+b^2+c^2+d^2)$
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$$=[(a+b)+(c+d)]^2+[(a+b)-(c+d)]^2+[(a-b)+(c-d)]^2+[(a-b)-(c-d)]^2$$ $$=2(a+b)^2+2(c+d)2+2(a-b)^2+2(c-d)^2$$ $$=2(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2)$$ $$=4(a^2+b^2+c^2+d^2)$$
อ้างอิง:
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1.2 $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(c+a-b)^3-(b+c-a)^3=24abc$
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$$=[(a+b)+c]^3-[(a+b)-c]^3-[c+(a-b)]^3-[c-(a-b)]^3$$ $$=[6(a+b)^2c+2c^3]-[2c^3+6(a-b)^2c]$$ $$=6c[(a+b)^2-(a-b)^2]$$ $$=6c(4ab)=24abc$$
อ้างอิง:
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1.3 $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)=\frac{1}{2}(a+b+c)[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]$
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$$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$$ $$=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)$$ $$(a+b+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)-3ab(a+b+c)$$ $$=(a+b+c)[a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab]$$ $$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ac-ab)$$ $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ac-ab)=(a+b+c)[\frac{2a^2+2b^2+2c^2-2bc-2ac-2ab}{2}]$$ $$=\frac{1}{2}(a+b+c)[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]$$
อ้างอิง:
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1.4 $xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz=(y+z)(z+x)(x+y)$
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ข้อนี้ผมทำอีกแบบกับคุณ BLACK-Dragon ครับ
$$=x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2+2xyz$$ $$=(y+z)x^2+(y+z)^2x+yz(y+z)$$ $$=(y+z)(x^2+(y+z)x+yz)=(y+z)(z+x)(x+y)$$
อ้างอิง:
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1.5 $a^3+b^3+c^3+3(b+c)(c+a)(a+b)=(a+b+c)^3$
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ข้อนี้ทำแบบคุณ BLACK-Dragon ง่ายกว่าแต่ก็ขอลงไว้เผื่อละกันครับ
$$=(a^3+b^3)+c^3+3(b+c)(c+a)(a+b)$$ $$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3+3(b+c)(c+a)(a+b)$$ $$[(a+b)^3+c^3]-3(a+b)[ab-(b+c)(c+a)]$$ $$=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3(a+b)(-ac-c^2-bc)$$ $$(a+b+c)[a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc]+3c(a+b)(a+b+c)$$ $$=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)+3c(a+b)]$$ $$=(a+b+c)^3$$