[nooonuii]

บางข้อที่คิดได้แล้วครับ

5. $a,b,c\geq 0$

$$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$$
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6. $a,b,c\in\mathbb{R},$ pairwise distinct

$$\Big(\dfrac{a}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{b}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{c}{a-b}\Big)^2\geq 2$$
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9. $a,b,c\geq0, a^2+b^2+c^2=a+b+c$

$$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\leq ab+bc+ca$$

My Solution:

$(a^2+b^2+c^2)^2=(a+b+c)^2$

$2[(ab+bc+ca)-\{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\}]=(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2)$

ดังนั้นอสมการสมมูลกับ

$a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$

โดยอสมการ Holder จะได้ทันทีว่า

$(a^4+b^4+c^4)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^3$

$(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a^2+b^2+c^2)^3$

$a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$

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10. $a,b,c\geq 0,$ no two of them are zero

$$\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$$

My Solution:

$b^2+bc+c^2\leq\frac{3}{2}(b^2+c^2)$

ดังนั้น

$LHS\geq \dfrac{2}{3}\Big(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\Big)$

$~~~~~~\geq 1$

จาก Nesbitt's inequality

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30. $a,b,c\geq 0,$ no two of them are zero

$$\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\geq \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$$
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34. $a,b,c\geq 0$

$$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\geq (a+b+c)^3$$
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41. $a,b,c,d>0$

$$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\geq 0$$

My Solution:

บวก $1$ ให้แต่ละเทอมจะได้อสมการสมมูลกับ

$\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+d}{c+d}+\dfrac{a+c}{d+a}+\dfrac{b+d}{a+b}\geq 4$

$LHS=(a+c)\Big(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{d+a}\Big)+(b+d)\Big(\dfrac{1}{c+d}+\dfrac{1}{a+b}\Big)$

$~~~~~~\geq (a+c)\Big(\dfrac{4}{a+b+c+d}\Big)+(b+d)\Big(\dfrac{4}{a+b+c+d}\Big)$

$~~~~~~=4$