อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics
2. จงหา $k \in \mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ $1^k + 9^k + 10^k = 5^k + 6^k + 11^k$
|
อันนี้ยังพิสูจน์ไม่ได้ครับ แต่มีแนวโน้มว่าจะจริง
$k=2,4$
ถ้า $k\geq 5$ แล้ว
$1^k + 9^k + 10^k < 5^k + 6^k + 11^k$
เมื่อ $k=5,6$ อสมการเป็นจริง
สมมติ $1^k + 9^k + 10^k < 5^k + 6^k + 11^k$ เมื่อ $k\geq 6$______(1)
จะได้ $\Big(\dfrac{11}{10}\Big)^k\geq \Big(\dfrac{11}{10}\Big)^6>\dfrac{17}{10}$.
ดังนั้น
$8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<17\cdot 10^k$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<10\cdot 11^k$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<9\cdot 5^k+10\cdot 11^k$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k$______(2)
(1)+(2);
$1^{k+1}+9^{k+1}+10^{k+1}<5^{k+1}+6^{k+1}+11^{k+1}$