อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics
2. จงหา $k \in \mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ $1^k + 9^k + 10^k = 5^k + 6^k + 11^k$
|
ทำ Soln แบบน่าเบื่อๆให้ 55+
อยากเห็นแบบสวยๆเหมือนกัน =="
ใช้ mod 5 เช็ค จะได้ $2|k$ ให้ $k=2k_1$
ได้สมการเป็น
$121^{k_1}-100^{k_1}=81^{k_1}+1^{k_1}-25^{k_1}-36^{k_1}$
ถ้า $m \ge 3$
จะพิสูจน์โดย induction ว่า
$121^{m}-100^{m}>81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m}$
ขั้นฐาน ถึก =="
ขั้นอุปนัย ให้ $m$ จริง
นั่นคือ $121^{m}-100^{m}>81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m}$
พิจรณา $121^{m+1}-100^{m+1}$
$=100(121^{m}-100^{m})+21(121)^m> 100(81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m})+21(121)^m$
$=(81^{m+1}+1^{m+1}-25^{m+1}-36^{m+1})+21(121)^m+19(81)^m+99-75(25)^m-64(36)^m$
แล้วก็ induction 2 ตัวนี้อีกที( ซึ่งทำได้ไม่ยาก==",$m\ge3$ ด้วยนะ )
$21(121)^m-64(36)^m>0$
$19(81)^m-75(25)^m>0$
ก็จะได้
$121^{m+1}-100^{m+1}>81^{m+1}+1^{m+1}-25^{m+1}-36^{m+1}$
เราจึงได้ว่า $k_1=1,2$ เท่านั้น
เมื่อเช็คแล้วจริงทั้งคู่