อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA
คืออยากทราบว่า Riemann zeta function
$$\xi (s)=\sum_{k = 1}^{\infty} \dfrac{1}{k^s}$$
สามารถนำไปใช้ประโยชน์อะไรได้บ้างครับ >>>> อยากได้แนวไปทำโครงงาน  |
พอดีผ่านเข้ามา เห็นคำถามของคุณ Ne[S]zA ผมเองก็เคยสงสัยมาก่อน ว่า Riemann zeta function นี่มันใช้ยังไง และสำคัญยังไง เข้าใจหัวอกคับ เลยขออนุญาต ช่วยตอบเท่าที่ผมรู้นะคับ
คุณ Ne[S]zA มีคำถามว่า Zeta function เราจะสามารถเอาไปใช้ประโยชน์อะไร ได้อย่างไรบ้าง
ก่อนอื่นเลย ต้องเข้าใจจุดเริ่มของเรื่องนี้ก่อนนะคับ
ย้อนกลับไปเมื่อ เกือบ 200 ปีก่อน Leonhard Euler เขาทำการศึกษาค้นคว้าเรื่องของจำนวนเฉพาะ และสร้าง Zeta function ขึ้นมาก่อน เพียงแต่นิยามใช้กับจำนวนจริงเท่านั้น แล้ว Euler ก็ค้นพบว่า Zeta function ของเขา มีความลับที่สัมพันธ์กับ รูปแบบของจำนวนเฉพาะซ่อนอยู่ นั่นก็คือ
Zeta function = 1+ 1/2^k+ 1/3^k+ 1/4^k... = (2^k/2^k -1)(3^k/3^k -1)(5^k/5^k -1)...
เราจะเห็นได้ว่า เมื่อเอาผลรวมของอนุกรม Zeta function มาเขียนใหม่ จะเห็นว่า สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะไปได้จนถึง infinity เลยคับ (อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ infinite ตัว)
นั่นคือ เราเห็นได้ชัดเจนเลยว่า มันเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะนั่นเอง เมื่อพบดังนี้ ดังนั้น Euler คงจินตนาการตอนนั้นได้ว่า Zeta function อาจจะเป็นกุญแจไขความลับของ pattern หรือ รูปแบบ ของจำนวนเฉพาะนั่นเอง ดังนั้น Euler อาจจะกำลังเข้าใกล้ความลับของจำนวนเฉพาะเข้าไปอีกนิดก่อนใครเลยในยุคนั้น
จากจุดนี้ อีกหลายสิบปีต่อมา Riemann เขาสนใจในเรื่องของจำนวนเฉพาะเช่นกัน จึงเอา zeta function จาก Euler ทำไว้ มาศึกษาต่อคับ ซุ่มศึกษาค้นคว้า และได้ตีพิมพ์งานวิจัยออกมาตัวหนึ่งในปี 1859 ชื่อภาษาอังกิดว่า 'On the number of Prime number less than a given Magnitude' ความยาว 8 หน้า ต้นฉบับคือภาษาเยอรมันนะคับ ชื่อว่า 'Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse' คนในวงการเรียก paper ชื่อดังนี้ สั้นๆว่า 'Ueber die Anzahl' แปลเป็นไทยก็ประมาณว่า 'จำนวนของจำนวนเฉพาะน้อยกว่าขนาดที่กำหนดมาให้' เขานำ Zeta function จาก Euler มาทำการศึกษาต่อ โดยนิยาม k ใน zeta function จากจำนวนจริง มาเป็นเป็นจำนวนเชิงซ้อน k = x+yi คับ
เมื่อ Riemann เขานำ Zeta function มาเล่นในจำนวนเชิงซ้อนแล้ว ทำให้เราในยุคนี้พบคุณสมบัติอื่นๆที่สวยงาม เกี่ยวกับ Number Theory (ทฤษฎีจำนวน) อีกมากมายเลยคับ เราก็คงไม่รู้ว่า ในตอนนั้น ตัวของ Riemann เขาอาจจะต้องการที่จะหา Pattern ของจำนวนเฉพาะ หรือ เขาอาจจะค้นหาความลับอื่นๆของจำนวนเฉพาะหรือไม่อย่างไร เพราะใน paper นี้เขาบอกว่า ไม่ใช่เรื่องที่เขาสนใจ แต่เขาพบว่า เมื่อเขา นำ Zeta function มาเล่นในจำนวนเชิงซ้อนแล้ว เจ้า Zeta function นี่จะเขียนใหม่ได้ในรูปนึงของ Gamma function+Trigon+Zeta function รวมกัน(ซ้อนในสมการอีกที) เขาเรียกรูปแบบใหม่นี้ว่า Functional equation ของ Zeta function นะคับ (สมการเชิงฟังก์ชั่นของ Zeta funcion)เมื่อได้ Functional equation มาแล้ว เขาเกิดการคาดการณ์นึงขึ้นมาคับว่า Root (zero) ของ Zeta function จำนวนหนึ่ง จะมีส่วนจริง Real part = 1/2 เราเรียก Root พวกนี้ของ zeta function ว่า Non-Trivial zeros หรือ รากที่ไม่ชัดแจ้ง นั่นเอง คับ
นั่นคือ F(z) = 0 ก็ต่อเมื่อ z =1/2+yi โดยที่ z ก็คือ non-trivial zero (root) ประมาณนี้นะคับ
ซึ่งต่อมาการคาดการณ์ที่เป็นสมมติฐาน ใน paper นี้ ของ Riemann ได้กลายมาเป็นปัญหาที่มีชื่อเสียงมากๆ
ปัญหานี้ถูกตั้งชื่อว่า Riemann Hypothesis หรือ สมมติฐานของรีมันน์
ที่ตอนนี้เป็นเวลา 150 กว่าปีมาแล้ว ยังไม่มีใครตอบได้ว่าจริงหรือไม่จริง น่ะเองคับ
จริงๆแล้ว นักคณิตศาสตร์ในอดีตนั้น เขาก็มีพยายามที่จะหารูปแบบของจำนวนเฉพาะเช่นกันคับ และพอมาเจอกับการคาดการณ์ในสมมติฐานของ Riemann อีก นักคณิตศาสตร์เขาพบว่าปัญหาเหล่านี้มีความเกี่ยวข้องกันคับ คือถ้าบอกได้ว่า non-trivial zero มีส่วนจริงเป็น 1/2 ทุกตัวรึไม่ เราก็อาจเจอรูปแบบของจำนวนเฉพาะได้เช่นกัน หรือ ถ้าเราเจอรูปแบบของจำนวนเฉพาะแล้ว เราก็อาจจะตอบคำถามของ Riemann ได้ว่าการคาดการณ์ของเขาจิงรึไม่ นั่นเองคับ ซึ่งทุกอย่างก็คำนวณวิเคราะห์มาจาก functional equation ของ zeta function คับ ทั้งหมดนี้ก็เป็นประวัติย่อๆเกี่ยวกับ zeta function นะคับ
ที่นี้ ที่คุณ Ne[S]zA ถามว่า Zeta function จะเอาไปใช้ประโยชน์ได้ยังไงบ้าง ตอบได้ว่าอย่างนี้คับ บอกได้เลยว่า zeta function นี่สำคัญกับอนาคตของมนุษยชาติเรามากๆคับ
เนื่องจากว่า จำนวนเฉพาะ Prime number เนี่ย เพราะมันไม่มี pattern ไร้รูปแบบคับ พวก 2 3 5 7 11 13 ... พวกนี้แหละคับ มันจึงถูกนำไปใช้ในการเข้ารหัส และระบบความปลอดภัย เกือบทุกอย่างเลยคับ แต่ที่เราเอาไปใช้งาน จะเป็น Prime number ที่ใหญ่กว่านี้มากๆ ซึ่งใช้ algorithm และถอดรหัสได้ยากมากคับ เพราะเงื่อนไขที่เราใช้หาจำนวน ในตอนนี้นั้น ก็คือ 'ตัวเลข ที่ 1 กับ ตัวมันเอง หารลงตัว' เท่านั้น ดังนั้น หากเป็นจำนวนที่ใหญ่มากๆ algorithm ในการหาจำนวนเฉพาะ ก็จะใช้เวลานานมากกกๆๆๆ ในการหาว่า ตัวเลขเฉพาะที่นำไปเข้ารหัสความปลอดภัยนั้น เป็นจำนวนเฉพาะตัวไหน ดังนั้น หากมีการค้นพบว่า สมการของรูปแบบของจำนวนเฉพาะ
เป็นอย่างไร ได้ขึ้นมาแล้วละก็ ทีนี้ละคับ ระบบ security ทั้งหมดก็จะใช้ไม่ได้เลยคับ เพราะตอนนั้น เราคงสามารถสร้างสมการ pattern หรือ sequence ของจำนวนเฉพาะ เพื่อ access หาจำนวนเฉพาะ ไป hack เข้า server หรือระบบความปลอดภัยอื่นๆได้ทั้งหมด พูดได้เลยว่าเราต้องยกเครื่องเปลี่ยนระบบ security กันใหม่ทุกอย่าง การเข้ารหัส login e-mail , Server, ระบบความปลอดภัยของการเงิน องค์กรต่างๆ จนถึงระบบขีปนาวุธ-นิวเคลียร์ ต้องยกเครื่องใหม่เลย เพราะทุกวันนี้เราใช้จำนวนเฉพาะ มาทำการเข้ารหัสทั้งหมดนั่นเอง พูดเลยว่าถ้ารู้ความลับของรูปแบบจำนวนเฉพาะแล้วละก็ ความไร้ระเบียบ+ความโกลาหล ของโลกต้องเกิดขึ้นแน่นอน
ส่วนเรื่องการพิสูจน์ สมมติฐานของรีมันน์ ว่าจริงหรือไม่นั้น ตอนนี้ มีคนพยายามคำนวณ เจอ root หรือ non-trivial zero ของ zeta function ไปแล้ว ถึงตัวที่ 10^21 (ตัวที่ 10 ยกกำลัง 21) zero ตัวนี้ ก็ยังมี real part = 1/2 อยู่คับ
ซึ่ง สมมติฐานรีมันน์ ยังจริงอยู่ แต่นี่ยังเป็นกรณี finite หรือ จำกัด อยู่นั่นเอง หากจะพิสูจน์ได้ทั้งหมด เราต้องบอกได้ว่า zero ทุกๆตัว ไปจนถึงที่อนันต์ (แล้วตัวไหนละ) ก็ยังมี real part =1/2 อยู่ ซึ่งเห็นได้ว่า แค่ตัวที่ 10^21 ก็ยังไม่ใช่ ตัวที่ infinite หรือ อนันต์คับ ดังนั้น กรณี ตัวที่อนันต์จะพิสูจน์ได้นั้น เรายังต้องใช้เวลาและต้องหาความรู้ใหม่ๆอีกมาก เพื่อที่จะใช้นำมาหาคำตอบให้ไปถึงตัวที่อนันต์คับ
สรุปได้คร่าวๆก็คือ zeta function ถูกเรานำมาใช้ในเรื่องทฤษฎีจำนวนเพื่อหาสมบัติต่างๆของจำนวนเฉพาะ (เนื่องจากเราพบว่ามันอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ infinite ตัว) นั่นเองคับ
ดังนั้น ในอนาคต ถ้าวันนึงมีใครที่สามารถพิสูจน์สมมติฐานรีมันน์ได้จาก zeta function หรือพิสูจน์ได้จากวิธีอะไรอื่นๆก็ตาม ว่าจริง หรือไม่จริงยังไง ต่อไป เราคงจะมีคำตอบเกี่ยวกับ รูปแบบของจำนวนเฉพาะมากขึ้นกว่าปัจจุบันนี้อีกมากมาย และปริศนาคำถาม คงจะมีคำตอบทั้งหมดให้เราคับ แล้วเมื่อวันที่เรื่องของ zeta function และจำนวนเฉพาะมีคำตอบแล้ว เมื่อถึงวันนั้นเราก็คงจะต้องมานั่งเกาหัวกัน เพื่อมาหาจำนวนชนิดใหม่ใช้แทนจำนวนเฉพาะ ด้วยคับ เพื่อจัดระเบียบของโลกและธรรมชาติกันใหม่ เพราะจำนวนเฉพาะคงจะไม่มีใครใช้อีกแล้ว แล้วเราจะเรียกจำนวนชนิดใหม่นี้ว่าจำนวนอะไรดีเอ่ยทีนี้ อาจจะต้องสร้างจำนวน หรือหาจำนวนชนิดใหม่ขึ้นมา เช่น จำนวนบักหำ,จำนวนน้องเหมียว, จำนวนบักเสี่ยว.,etc ฮาฮานะคับ อะไรปะมาณนี้แหละคับ
หากจะทำเป็นโครงงานคิดว่า อาจจะต้องเริ่มจากศึกษาประวัติของจำนวนเฉพาะและทฤษฎีจำนวนที่เกี่ยวข้องก่อน จะดีกว่าคับ เพราะเนื้อหาค่อนข้าง advanced มาก อย่างน้อยขอให้เราเข้าใจในความเป็นมาและความสำคัญของปัญหาก่อน ผมว่าก็น่าจะโอเคแล้วคับ
หากสนใจสามารถศึกษาได้จากวิชา Complex analysis (การวิเคราะห์จำนวนเชิงซ้อน) นะคับ