6. ให้ $a_1,...,a_n\in [0,1]$ และ $m=\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}$ จะได้ว่า
$$(a_1-m)^2+\cdots+(a_n-m)^2\leq \dfrac{1}{n}\Big[\dfrac{n^2}{4}\Big]$$
ให้ $a_1,...,a_n\in [0,1]$ และ $s=a_1+\cdots+a_n$
จะพิสูจน์ว่า $(na_1-s)^2+(na_2-s)^2+\cdots+(na_n-s)^2\leq n\Big[\dfrac{n^2}{4}\Big]$
ให้ $f(a_1,...,a_n)=(na_1-s)^2+(na_2-s)^2+\cdots+(na_n-s)^2$
มอง $f$ ให้เป็นฟังก์ชันในตัวแปร $a_1$ จะได้ว่า กราฟของ $f$ เป็นพาราโบลาหงาย
ดังนั้น $f$ จะมีค่าสูงสุดที่จุดปลายของพาราโบลาในช่วง $[0,1]$ นั่นคือเมื่อ $a_1=0$ หรือ $a_1=1$
ในทำนองเดียวกัน ถ้ามอง $f$ เป็นฟังก์ชันในตัวแปร $a_2$
$f$ จะมีค่าสูงสุดเมื่อ $a_2=0$ หรือ $a_2=1$
ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $f$ จะเกิดเมื่อ ทุกตัวแปรมีค่าเป็น $0$ หรือ $1$
สมมติว่า $a_i=0$ เป็นจำนวน $k$ ตัว และ $a_i=1$ อีก $n-k$ ตัว
จะได้ว่า $s=n-k$ และ $f=ks^2+(n-k)(n-s)^2=k(n-k)^2+(n-k)k^2=kn(n-k)$
ต่อไปพิจารณาว่า $k(n-k)$ มีกราฟเป็นพาราโบลาคว่ำซึ่งจะมีค่าสูงสุดเมื่อ $k=\dfrac{n}{2}$
ถ้า $n$ เป็นจำนวนคู่ จะได้ว่า $k$ เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $k(n-k)$ คือ $\dfrac{n^2}{4}$
ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่า $k$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าสูงสุดจะเกิดที่จำนวนเต็มที่อยู่ใกล้ $\dfrac{n}{2}$ มากที่สุด ซึ่งก็คือ $\dfrac{n-1}{2}$ หรือ $\dfrac{n+1}{2}$
ดังนั้นค่าสูงสุดคือ $\dfrac{n^2-1}{4}$ (ทั้งสองกรณี)
จึงได้ว่า $k(n-k)$ มีค่าสูงสุดเท่ากับ $\Big[\dfrac{n^2}{4}\Big]$
ดังนั้น $f\leq n\Big[\dfrac{n^2}{4}\Big]$
กลับมาที่โจทย์เดิมจะได้ว่าค่าสูงสุดคือ $\dfrac{1}{n^2}\cdot$ ค่าสูงสุดของ $f$ $=\dfrac{1}{n}\Big[\dfrac{n^2}{4}\Big]$