อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Influenza_Mathematics
ตรง 17/10และบรรทัด ต่อ ๆ มา มายังไงหรอครับ  |
ต้องมองย้อนกลับไปเรื่อยๆครับ
เริ่มแรกสิ่งที่ต้องการคือ $1^{k+1}+9^{k+1}+10^{k+1}<5^{k+1}+6^{k+1}+11^{k+1}$
จากเงื่อนไขขั้นอุปนัยเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k$
แต่อสมการนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิดจึงพยายามทำให้ง่ายลงโดยการสร้างขอบเขตคร่าวๆไปเรื่อยๆ
$8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<8\cdot 10^k+9\cdot 10^k=17\cdot 10^k$
ในขณะที่ $4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k>10\cdot 11^k$
ดังนั้นถ้าเราพิสูจน์ว่า $17\cdot 10^k<10\cdot 11^k$ อสมการจะสามารถเชื่อมต่อกันได้หมด
จะพิสูจน์อสมการนี้ก็พยายามจัดให้เข้ารูปนี้ $\Big(\dfrac{11}{10}\Big)^k>\dfrac{17}{10}$
ซึ่งมองง่ายกว่า จากนั้นก็ลองสุ่มว่า $k$ น้อยสุดค่าใดที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง
ถ้าจริงสำหรับ $k$ สักค่าหนึ่งค่าที่มากกว่าก็จะจริงเพราะฟังก์ชันทางฝั่งซ้ายเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ก็พบว่า $k$ เริ่มจาก $6$ จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมต้องแยกกรณี $k=5,6$ ออกมาคิดก่อน