[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

25. พิสูจน์ว่า

$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq\dfrac{2}{\sqrt{1+ab}}$

$$\Leftrightarrow \sqrt{(1+a^2)(1+ab)}+\sqrt{(1+b^2)(1+ab)}\leq 2\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}$$
เเละ จากอสมการของ โคชีทาซ้าย $$\sqrt{(1+a^2)(1+ab)}+\sqrt{(1+b^2)(1+ab)}\leq \sqrt{2\left\{\,(1+a^2)(1+ab)+(1+b^2)(1+ab)\right\} }$$
ดังนั้น จึงต้องการพิสูจน์ว่า $$\sqrt{2\left\{\,(1+a^2)(1+ab)+(1+b^2)(1+ab)\right\} }\leq 2\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\ge a+b$$