[จูกัดเหลียง]

G11 วงกลมสามวง รัศมี $r_1,r_2,r_3$สัมผัสภายนอกซึ่งกันเเละกัน ทีุ่จุด A,B,C
ถ้า $p$ เเทนความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ABC
จงเเสดงว่า $$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_2}\ge \frac{9}{p}$$

My_Soln

กำหนด จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมีเป็น $r_1,r_2,r_3$ เป็น $O_1,O_2,O_3$ ตามลำดับ
เเละกำหนด มุม $O_1AB=\alpha,O_2CA=\beta,O_3BC=\gamma$
จาก $\Delta ABC\rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\pi$ เเละ $p=2(r_1\cos\alpha+r_2\cos\beta+r_3\cos\gamma)$
นั่นคือ เราต้องการพิสูจน์ว่า $$2\Big(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\Big)(r_1\cos\alpha+r_2\cos\beta+r_3\cos\gamma)\ge 9...(*)$$
$$\Leftrightarrow 2\Big(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\Big)(r_1\cos\alpha+r_2\cos\beta+r_3\cos\gamma)\ge\Big(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2 }+\frac{1}{r_3}\Big)(r_1+r_2+r_3)$$
ซึ่งทำให้ $(*)$ เป็นจริงโดย อสมการ A.M-H.M
$$\Leftrightarrow 2(r_1\cos\alpha+r_2\cos\beta+r_3\cos\gamma)\ge r_1+r_2+r_3$$
จาก Sine Law $$\Leftrightarrow 2(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)\ge \tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma$$
ซึ่งเป็นจริงโดย อสมการของ Jensen โดย เลือก $f(x)=2\sin x-tan x$
ปล. ผม Jensen เเบบมั่วๆครับ ถ้าผิดก็ ... มา ณ ที่นี้