ขอออกความเห็นข้อนี้ต่ออีกหน่อยนะครับ วิธีทำข้อนี้มีได้อย่างน้อย 2 แบบ แบบแรกคือใช้แนวคิดแบบของคุณ passer-by โดยมองว่าสิ่งที่ต้องการหาเป็น "limit of sum" แล้วก็เปลี่ยนไปอยู่ในรูปของ integral ซึ่งวิธีนี้น่าจะเกินหลักสูตรไปเยอะเลย จากนิยามของ Riemann integration เราจะพบว่า\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n
f(\frac{k}{n})=\int_0^1f(x)\,dx\]ดังนั้นในกรณีนี้เราจะได้ว่า\[\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}
\left(\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\dots+\sin\frac{n\pi}{n}\right)\]\[
=\int_0^1\sin\pi x\,dx=\left[\,-\frac{\cos\pi x}{\pi}\,\right]_0^1=
\frac{2}{\pi}\]ส่วนอีกวิธีก็คือหาแบบตรงๆเลย จากที่เรารู้ว่า\[\sum_{k=1}^n\sin kx=
\frac{\cos(x/2)-\cos(nx+x/2)}{2\sin(x/2)}\]ดังนั้นลิมิตที่เราต้องการจึงมีค่าเท่ากับ\[
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cot\frac{\pi}{2n}\]ให้ \(\large t=\frac{\pi}{2n}\) ลิมิตจะกลายเป็น\[\lim_{t\to0}\frac{2t\cos t}{\pi\sin t}=
\frac{2}{\pi}\]ตรงนี้อาศัยที่เรารู้ว่า\[\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1\]ครับผม
