ตอนที่ 1: จงเขียนเฉพาะคำตอบพร้อมหน่วย(ถ้ามี)ของทุกข้อในความคิดเห็นเดียวกัน
แต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 2 คะแนน
1. ให้ $x,y,z \in \mathbb{C} $ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$$x+y+z = 2 ,\quad x^2+y^2+z^2 = 3 ,\quad xyz = 4$$
จงหาค่าของ $999(\dfrac{1}{xy+z-1} +\dfrac{1}{yz+x-1}+\dfrac{1}{zx+y-1})$
(เสนอโดย คุณ Influenza_Mathematics)
2. สี่เหลี่ยม $ABCD$ มี $\angle DAB = 60^\circ ,\angle ABC = 90^\circ,\angle BCD = 120^\circ$
เส้นทแยงมุม $AC$ และ $BD$ ตัดกันที่จุด $M$ ถ้า $MB =1 ,MD = 2$ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$
(เสนอโดย คุณ Influenza_Mathematics)
3. จงหาจำนวนเต็มบวก $a,b$ ทั้งหมดที่ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1}$
(เสนอโดย คุณ Influenza_Mathematics)
4. จงหาคำตอบทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$$\frac{18}{x^2-22x+127}=2x^4-204x^2-132x+729$$
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)
5. จงหาสามหลักสุดท้ายของ $\displaystyle\sum_{k=0}^3 a^k+b^k+c^k$ เมื่อ กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ
$$x^3-543x^2+2011x-2554=0$$
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)
6. กำหนดให้ $x,y,z$ เเทนความยาวด้านของสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $$(x^2-xy)(x-y)+(y^2-yz)(y-z)+(z^2-zx)(z-x)=0$$ เเละมีความยาวรอบรูปเท่ากับ $543$ หน่วย จงหา พื้นที่ของสามเหลี่ยมรูปนี้
(เสนอโดย คุณ จูกัดเหลียง)
7. จากภาพ มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัส CEFG และความยาวรอบรูปของหกเหลี่ยม ABEFGD มีค่าเป็น 2 หน่วย
ต่อ FC ไปทาง C ถึง M ทำให้ $MA=MB=MF$ แล้วพื้นที่ของหกเหลี่ยม ABFGMD มีค่าเท่าไร
(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)
8. กำหนดให้ $\displaystyle{H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}$ ถ้าเราทราบว่า $\displaystyle{7.4854 < H_{1000} < 7.4855}$
จงหาจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุด ที่น้อยกว่า $\displaystyle{H_1+H_2+H_3+...+H_{1000}}$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)
9. กำหนดให้ $a > b > c>d>0$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} = \frac{13}{2}$$
$$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b} = 9$$
จงหา $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)
10. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ กำหนดให้
$$S_n = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$
$$T_n = S_1+S_2+S_3+...+S_n$$
$$U_n = \frac{T_1}{2}+\frac{T_2}{3}+...+\frac{T_n}{n+1}$$
จงหา $a+b+c+d$ เมื่อ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่ $T_{510} = aS_{511}-b$ และ $U_{510} = cS_{511}-d$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)
11. ให้ $a,b,c\in \mathbb{N}$ จงหาค่าของ $a+b+c$ ถ้า $(1+\dfrac{8}{a^2})(1+\dfrac{8}{b^2})(1+\dfrac{8}{c^2})=33$
(เสนอโดย คุณ Real Matrik)
12. กำหนดให้ $\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = k$ จงหาค่าของ $\dfrac{x^8-y^8}{x^8+y^8}+\dfrac{x^8+y^8}{x^8-y^8}$ ในรูปของ $k$
(เสนอโดย คุณ -InnoXenT-)
13. จงหาค่าของ
$$\genfrac{}{}{2pt}{}{\dfrac{1\times 2\times 3}{1000}+\dfrac{2\times 3\times 4}{1000}+\dfrac{3\times 4\times 5}{1000}+\cdots+\dfrac{998\times 999\times 1000}{1000}}{\dfrac{1000}{1\times 2\times 3}+\dfrac{1000}{2\times 3\times 4}+\dfrac{1000}{3\times 4\times 5}+\cdots+\dfrac{1000}{998\times 999\times 1000}}$$
(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)
14. กำหนดให้ $a , b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $2a=b+c$ และ $2a^3=b^3+c^3$ ถ้า $\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}=x+y\sqrt{z}$ เมื่อ $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าของ $xyz$
(เสนอโดย คุณ คุณ Scylla_Shadow)
ตอนที่ 2: จงแสดงวิธีทำโดยละเอียด
แต่ละข้อมีคะแนนเต็ม 5 คะแนน
1. สามเหลี่ยม ABC มีความยาวด้านเป็นจำนวนเต็ม จุด D,Eและ F อยู่บน BC,CA และ AB ตามลำดับ
ทำให้ รัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABD และสามเหลี่ยม ACD มีขนาดเท่ากัน
รัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม BCE และสามเหลี่ยม BAE มีขนาดเท่ากัน
รัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม CAF และสามเหลี่ยม BAF มีขนาดเท่ากัน
ถ้า BD,CEและAF มีความยาวเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่จะเป็นไปได้
และ AD,BE และ CF มีความยาวเป็นจำนวนเต็ม
จงหาพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วย AD,BE และ CF
(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)
2. ห้าเหลี่ยมนูน $A_1A_2A_3A_4A_5$ มี $A_2A_5$ แบ่งครึ่ง $\angle A_1A_2A_3$ ,
$\angle A_3A_2A_4:\angle A_4A_2A_5:\angle A_2A_5A_1:\angle A_5A_1A_2:\angle A_1A_3A_4=3:4:5:6:7$ และ
$\angle A_2A_1A_3:\angle A_2A_3A_1:\angle A_2A_4A_3:\angle A_1A_2A_5=1:3:5:7$
ถ้า $\overline{A_iA_{i+2}} $ ตัด $\overline{A_{i+1}A_{i+3}} $ ที่ $B_i$ สำหรับทุก $i=1,2,3,4,5$ (เมื่อ $A_{j+5}=A_j$)
จงหาค่าของ $\angle B_1B_2B_3+\angle B_2B_3B_4-\angle B_3B_4B_5$ ทั้งหมดที่จะเป็นไปได้
(เสนอโดย คุณ Scylla_Shadow)
3. กำหนดให้ $$F(a,b,c) =\max_{1\leq x\leq 3}|x^{3}-ax^{2}-bx-c|$$
เมื่อ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $F(a,b,c)$
(เสนอโดย คุณ tatari/nightmare)
4. ให้ $M$ และ $N$ เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดและมากที่สุดซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
a) ขึ้นต้นและลงท้ายด้วย 1
b) ประกอบด้วยเลขโดด 0 และ 1 เท่านั้น อย่างละ 1001 ตัว
ถ้า $\dfrac{M}{N}=\dfrac{a}{b}$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งมี หรม.เป็น 1
จงหาผลบวกเลขโดดของ $a+b$
(เสนอโดย คุณ คุณ Scylla_Shadow)