อ้างอิง:
|
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Problem-For fun
3.กำหนดให้ $\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b+c}{3}=\dfrac{c+a}{4}$ จงหาค่าของ
$$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$$
|
โจทย์น่าฟันทิ้งมากครับ
$\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b+c}{3}=\dfrac{c+a}{4}=M$
$a+b=2M$-------(1)
$b+c=3M$-------(2)
$c+a=4M$-------(3)
(1)+(2)+(3) ได้
$a+b+c=\dfrac{9M}{2}$------(4)
(4)-(1) ได้ $c=\dfrac{5M}{2}$
(4)-(2) ได้ $a=\dfrac{3M}{2}$
(4)-(3) ได้ $b=\dfrac{M}{2}$
หลังจากนั้นก็แทนค่าเลยครับ
$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}=\dfrac{(\dfrac{M}{2})^3+(\dfrac{3M}{2})^3+(\dfrac{5M}{2})^3}{(\dfrac{M}{2}+\dfrac{3M} {2}+\dfrac{5M}{2})((\dfrac{M}{2})^2+(\dfrac{3M}{2})^2+(\dfrac{5M}{2})^2)}$
$=\dfrac{\dfrac{M^3+27M^3+125M^3}{8}}{\left(\,\dfrac{9M}{2}\right) \left(\,\dfrac{M^2+9M^2+25M^2}{4}\right) }$
$=\left(\,\dfrac{153M^3}{8}\right) \left(\,\dfrac{8}{(9M)(35M^2)}\right) $
$=\dfrac{17}{35}$
ปล.ขอโทษด้วยครับ นึกว่ายังไม่มีคนทำประทานโทษจริงๆ ครับ