1. WLOG $x\geqslant y\geqslant z$
$2=xy+yz+zx-xyz \geqslant 3z^2-xyz$
พิจารณา $3z^2-xyz \leqslant 2$
ถ้า $z = 0$ อสมการเป็นจริง จะได้ $xy = 2$ ซึ่งแยกกรณีต่อไม่ยากซึ่งจะได้ $(x,y) = (2,1),(1,2)$
พิจารณา $z>0$ เราจะได้ $x>0 , y>0$ ด้วย จาก WLOG
เนื่องจาก $(x-1)(y-1)(z-1) \geqslant 0$
จะได้ $2= xy+yz+zx-xyz \geqslant x+y+z -1$
จะได้ $x+y+z \leqslant 3$
แต่เรา claim ไว้ว่า $x>0,y>0,z>0$
เราจะได้ $x=1,y=1,z=1$ ชุดเดียว
คำตอบทั้งหมดที่สอดคล้องคือ $(x,y,z)=(2,1,0),(1,2,0),(1,1,1)$
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ 
|