ผมไม่รู้ว่าจะทำแบบ ม.ปลาย ยังไงนะครับ วิธีที่ผมคิดได้ (ค่อนข้างยุ่งยาก) คือ
ถ้า $y>x$ เราพบว่ามี $x=2, y=4$ เป็นคำตอบหนึ่ง ถ้าเรา parametrize คำตอบโดยให้ $y=tx$ โดยที่ $t>1$ เราจะได้ว่า $$ \begin{array}{rcl} x & = & t^{1/(t-1)} \\ y & = & t^{t/(t-1)} \end{array} $$ และ $$ x+y= t^{1/(t-1)}(1+t) =6$$ โดยใช้ calculus และ
ความรู้จากที่นี่ เราสามารถแสดงได้ว่า $ t^{1/(t-1)} (1+t) -6$ เป็น strictly increasing function เมื่อ $t>1$ ดังนั้นมันจึงมีรากได้อย่างมากเพียงรากเดียว นั่นคือ $x=2, y=4$ เป็นคำตอบเพียงอันเดียวเมื่อ $y>x$
โดยอาศัยสมมาตรของสมการ เราจะได้ว่า $x=4, y=2$ เป็นเพียงคำตอบเดียวเมื่อ $x>y$
และเมื่อ $x=y$ แก้สมการง่ายๆแล้วเราจะได้ $x=y=3$ เป็นคำตอบครับ