เฉลยข้อโอลิมปิกของผม ข้อนึงก่อนละกันครับ ที่เหลือ รอให้มีคนมาคิด สักพัก
จงหา $\displaystyle{f : \mathbb{R}-\left\{ 0\,\right\} \rightarrow \mathbb{R} }$ ที่
$$f(x)+f(1-\frac{1}{x}) = \frac{1}{x}$$
จัดรูปจากโจทย์นิดหน่อย $\displaystyle{f(x)+f(\frac{x-1}{x}) = \frac{1}{x}}$ --(1)
จากโจทย์ถ้าเราแทนค่า $\displaystyle{\frac{x-1}{x}}$ ลงใน $x$ จะได้
$\displaystyle{f(\frac{x-1}{x}) + f(\frac{1}{1-x}) = \frac{x}{x-1}}$ --(2)
และจากโจทย์ถ้าเราแทนค่า $\displaystyle{\frac{1}{1-x}}$ ลงใน $x$ จะได้
$\displaystyle{f(\frac{1}{1-x})+f(x) = 1-x}$ --(3)
(1)-(2)+(3) ;
$\displaystyle{2f(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{x-1}+1-x}$
แล้วจัดรูป จะได้
$\displaystyle{f(x) = \frac{x^3-x^2+x+1}{2x(x-1)}}$
จากรูปสมการ $f(x)$ จะไม่สามารถหาค่า $f(1)$ และ $f(0)$
แต่โดเมนคือ $\mathbb{R} -\left\{ 0\,\right\} $ ดังนั้น $f(1) = c$ โดยที่ $c$ เป็นจำนวนจริงค่าหนึ่ง
ฟังก์ชันที่ได้คือ
$\displaystyle{f(x) = \cases{\frac{x^3-x^2+x+1}{2x(x-1)} & , x \not= 1 \cr c & , x = 1 } }$