ข้อของผม(หวังว่าจะไม่ผิดนะ
)
โจทย์
ให้ $a,b,c \in \mathbb{R}$
จงพิสูจน์ว่า
$$\sum_{cyc} (a^3-b^3)^2+3\sum_{cyc}(a^2-b^2)^2+6(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) \ge 0$$
วิธีทำ
โดย Cauchy-Schwarz inequality และ Triangle inequality จะได้ว่า
$3((a^3-b^2+c^2)^2+(b^3-c^2+a^2)^2+(c^3-a^2+b^2)^2) \ge (|(a^3-b^2+c^2)|+|(b^3-c^2+a^2)|+|(c^3-a^2+b^2)|)^2$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ge (|(a^3-b^2+c^2)+(b^3-c^2+a^2)+(c^3-a^2+b^2)|)^2$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (a^3+b^3+c^3)^2$
กระจายทั้งสองข้างจะได้ว่า
$\sum_{cyc} (3 a^6-6 a^3 b^2+6 a^3 c^2+3 b^4-6 b^2 c^2+3 c^4) \ge a^6+b^6+c^6+2a^3b^3+2b^3c^3+2c^3a^3$
$\leftrightarrow \sum_{cyc} (2 a^6-6 a^3 b^2+6 a^3 c^2+6 b^4-6 b^2 c^2) \ge 2a^3b^3+2b^3c^3+2c^3a^3$
$\leftrightarrow \sum_{cyc} (2 a^6-2a^3b^3)+\sum_{cyc}(6a^4-6a^2b^2)+\sum_{cyc}(6 a^3 c^2-6 a^3 b^2)\ge 0$
$\leftrightarrow \sum_{cyc} (a^3-b^3)^2+3\sum_{cyc}(a^2-b^2)^2+6(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca) \ge 0 \ \ \ \square$