เฉลยข้อของผม ระดับมัธยมต้น ครับ (เรียงเลขข้อตาม LongList นะครับ)
กำหนดให้ $\displaystyle{H_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}}$ ถ้าเราทราบว่า $\displaystyle{7.4854 < H_{1000} < 7.4855}$ จงหาจำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุด ที่น้อยกว่า $\displaystyle{H_1+H_2+H_3+...+H_{1000}}$
$H_1+H_2+H_3+...+H_{1000} = (\frac{1}{1}) + (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+ ... + (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1000})$
$= \frac{1000}{1}+\frac{999}{2}+...+\frac{1}{1000}$
$= (\frac{1001}{1}-\frac{1}{1})+(\frac{1001}{2}-\frac{2}{2})+...+(\frac{1001}{1000}-\frac{1000}{1000})$
$= 1001(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{1000})-1000$
$= 1001H_{1000}-1000$
เรารู้ว่า $7.4854 < H_{1000} < 7.4855$
ดังนั้น $\displaystyle{7492.8854 < 1001H_{1000}< 7492.9855}$
$\displaystyle{6492.8854 < 1001H_{1000}-1000 < 6492.9855}$
ดังนั้น จำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดที่น้อยกว่า $\displaystyle{H_1+H_2+...+H_{1000} = 6492}$
กำหนดให้ $a > b > c>d>0$ และเป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} = \frac{13}{2}$$
$$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{d}+\frac{d}{b} = 9$$
จงหา $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$
กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{a}{b}=x}$ และ $\displaystyle{\frac{c}{d} = y}$ ดังนั้น $\displaystyle{\frac{x}{y} = \frac{ad}{bc}}$
แทนค่าลงในสมการที่สอง
$\displaystyle{\frac{b}{d}(\frac{x}{y}) + \frac{d}{b}(\frac{y}{x})+\frac{b}{d}+\frac{d}{b}=9}$
$\displaystyle{\frac{b}{d}(\frac{x}{y}+1)+\frac{d}{b}(\frac{y}{x}+1)=9}$
$\displaystyle{\frac{b(x+y)}{dy}+\frac{d(x+y)}{bx}=9}$
$\displaystyle{(x+y)(\frac{b}{dy}+\frac{d}{bx})=9}$
$\displaystyle{(x+y)(\frac{b}{d(\frac{c}{d})}+\frac{d}{b(\frac{a}{b})})=9}$
$\displaystyle{\frac{b}{c}+\frac{d}{a}=\frac{9}{x+y}}$ --(1)
แทนค่า (1) ลงในสมการแรก
$\displaystyle{x+y + \frac{9}{x+y} = \frac{13}{2}}$
$\displaystyle{(x+y)^2-\frac{13}{2}(x+y)+9=0}$
$\displaystyle{((x+y)-\frac{9}{2})((x+y)-2)=0}$
$\displaystyle{x+y= \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = 2 ,\frac{9}{2}}$
แต่ $a > b > c > d > 0$ ดังนั้น $\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{9}{2}}$
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ กำหนดให้
$\displaystyle{S_n = \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}$
$\displaystyle{T_n = S_1+S_2+S_3+...+S_n}$
$\displaystyle{U_n = \frac{T_1}{2}+\frac{T_2}{3}+...+\frac{T_n}{n+1}}$
จงหา$a+b+c+d$ เมื่อ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ที่ $T_{510} = aS_{511}-b$ และ $U_{510} = cS_{511}-d$
$\displaystyle{T_n = S_1+S_2+S_3+...+S_n = \frac{1}{1}+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+...+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1 }{n})}$
$\displaystyle{T_n = \frac{n}{1}+\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{3}+...+\frac{1}{n}}$
พิจารณา
$\displaystyle{S_n(n+1) = (\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n+1})(n+1)}$
$\displaystyle{= (n\times \frac{1}{1}+1\times\frac{1}{1})+((n-1)\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{2})+((n-2)\times\frac{1}{3}+3\times\frac{1}{3})+...+(0\times\frac{1}{n+1}+(n+1)\frac{1}{n+1})}$
$\displaystyle{= T_n + (n+1)}$
ดังนั้น
$\displaystyle{T_n = (n+1)S_{n+1} - (n+1)}$ ----(1)
$\displaystyle{U_n = \frac{T_1}{2}+\frac{T_2}{3}+\frac{T_3}{4}+...+\frac{T_n}{n+1}}$
จากสมการที่ 1 จะได้ว่า
$\displaystyle{U_n = \frac{2S_2 -2}{2}+\frac{3S_3 - 3}{3}+...+\frac{(n+1)S_{n+1}-(n+1)}{n+1}}$
$\displaystyle{= (S_2-1)+(S_3-1)+(S_4-1)+...+(S_{n+1}-1) = S_2+S_3+S_4+...+S_{n+1}-n}$
$\displaystyle{= T_{n+1} - S_1 - n = T_{n+1}-(n+1)}$
นำสมการ (1) แทนเข้าไป จะได้ว่า
$\displaystyle{U_n = (n+2)S_{n+2}-(n+2)-(n+1) = (n+2)S_{n+2}-(2n+3)}$
$\displaystyle{= (n+2)(S_{n+1}+\frac{1}{n+2})-(2n+3)}$
$\displaystyle{= (n+2)S_{n+1}-(2n+2)}$
ดังนั้น
$\displaystyle{T_n = (n+1)S_{n+1}-(n+1)}$
$\displaystyle{U_n = (n+2)S_{n+1}-(2n+2)}$
$a=b = n+1$
$c= n+2$
$d= 2n+2$
$a+b+c+d = 5n+5$ แทน $n=510$ เข้าไปจะได้ $2555$
กำหนดให้
$$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = k$$
จงหาค่าของ
$$\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8}+\frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}$$
ในรูปของ $k$
จากโจทย์ $\displaystyle{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = k}$
จะได้ $\displaystyle{\frac{(x^2-y^2)^2+(x^2+y^2)^2}{x^4-y^4} = k}$
$\displaystyle{\frac{k}{2} = \frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}}$
และจากการจัดรูป ย้ายข้าง จะได้ $\displaystyle{(\frac{x}{y})^4 = \frac{k+2}{k-2}}$
$\displaystyle{\frac{x^8+y^8}{x^8-y^8}+\frac{x^8-y^8}{x^8+y^8} = \frac{(x^8+y^8)^2+(x^8-y^8)^2}{x^{16}-y^{16}}}$
$\displaystyle{= 2\frac{x^{16}+y^{16}}{x^{16}-y^{16}} = 2\frac{(\frac{k+2}{k-2})^4+1}{(\frac{k+2}{k-2})^4-1}}$
$\displaystyle{= 2(\frac{(k+2)^4+(k-2)^4}{(k+2)^4-(k-2)^4})}$