อ้างอิง:
กำหนดให้ $P(x) = (1+x+x^2+\cdots+x^{17})^2-x^{17}$ มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด 34 ราก โดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้
a) รากทุกตัวอยู่ในรูปของ $\displaystyle{z_k = r_k(\cos{(2a_k\pi)}+j\sin{(2a_k\pi)}),\ k=1,2,\dots,34}$
b) $\displaystyle{0<a_1\leqslant a_2\leqslant a_3\leqslant \ldots \leqslant a_{34} < 1}$
c) $\displaystyle{r_k > 0}$
กำหนดให้ $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = \dfrac{m}{n}$ เมื่อ $\dfrac{m}{n}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ จงหาค่า $m+n$
|
$P(x) = (1+x+x^2+\cdots+x^{17})^2-x^{17}$
$~~~~~=\dfrac{(x^{18}-1)^2}{(x-1)^2}-x^{17}$
$~~~~~=\dfrac{x^{36}-2x^{18}+1-x^{19}+2x^{18}-x^{17}}{(x-1)^2}$
$~~~~~=\dfrac{(x^{17}-1)(x^{19}-1)}{(x-1)^2}$
$~~~~~=(1+x+x^2+...+x^{16})(1+x+x^2+...+x^{18})$
$P(x)$ มีคือ $\cos\dfrac{2l\pi}{17}+j\sin\dfrac{2l\pi}{17}$ โดยที่ $l=1,2,...16$
และ $\cos\dfrac{2k\pi}{19}+j\sin\dfrac{2k\pi}{19}$ โดยที่ $k=1,2,3...,18$
$a_1=\dfrac{1}{19},a_2=\dfrac{1}{17},a_3=\dfrac{2}{19},a_4=\dfrac{2}{17},a_5=\dfrac{3}{19}$
$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\dfrac{159}{323}$
$m+n=482$