จงหาจำนวนเต็มบวก $a,b$ ทั้งหมดที่ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1} $
วิธีทำ $\sqrt{a-1} +\sqrt{b-1} =\sqrt{ab-1} ---(1) $
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง $a-1+b-1+2\sqrt{(a-1)(b-1)} = ab-1$
$2\sqrt{(a-1)(b-1)} = (a-1)(b-1)$
ให้ $\sqrt{(a-1)(b-1)} = x$
$2x = x^2$
$x= 0,2$
case 1.$\sqrt{(a-1)(b-1)} = 0$
จะได้ $b=1$ หรือ $a = 1$
case 1.1 $a=1$ แทนกลับใน (1)
$\sqrt{b-1} =\sqrt{b-1}=k $
จะได้ $b-1 = k^2 , b = k^2+1$
case 1.2 $b=1$ เหมือน 1.1 (ในทำนองเดียวกัน) $a=k^2+1$
(ทั้ง 1.1 ,1.2 $k \in \mathbb{Z} $)
case 2 $\sqrt{(a-1)(b-1)} = 2$
$(a-1)(b-1) = 4$
สามารถหาคำตอบไม่ยากโดย $a,b \in \mathbb{N} $
จะได้ $(a,b) = (5,2),(3,3),(2,5)$
คำตอบทั้งหมดของโจทย์ คือ $(a,b) = (5,2),(3,3),(2,5),(1,k^2+1),(k^2+1,1)$
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ 
|