เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $(x,y,z)$ ที่เป็นบวกของระบบสมการ
$$(2n+1)(x+\frac{1}{x}) = (2n^2+2n)(y+\frac{1}{y}) = (2n^2+2n+1)(z+\frac{1}{z})$$
$$xy+yz+zx = 1$$
กำหนดให้ $\displaystyle{x = \tan{A},y=\tan{B},z=\tan{C}}$
จากสมการที่ 2 จะได้
$\displaystyle{\tan{A}\tan{B}+\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A} = 1}$
และ จากสูตรผลบวก
$\displaystyle{\tan{(A+B+C)} = \frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}-\tan{A}\tan{B}\tan{C}}{1-\tan{A}\tan{B}+\tan{B}\tan{C}+\tan{C}\tan{A}}}$
จะรู้ว่า $\displaystyle{A+B+C = \frac{\pi}{2}}$
$\displaystyle{2A+2B+2C = \pi}$
จากสมการที่หนึ่ง
$\displaystyle{(2n+1)(\tan{A}+\frac{1}{\tan{A}}) = (2n^2+2n)(\tan{B}+\frac{1}{\tan{B}}) = (2n^2+2n+1)(\tan{C}+\frac{1}{\tan{C}})}$
คูณด้วย 1/2 ทั้งสมการ และจัดรูปนิดหน่อยจะได้
$\displaystyle{(2n+1)(\frac{1+\tan^2{A}}{2\tan{A}}) = (2n^2+2n)(\frac{1+\tan^2{B}}{2\tan{B}}) = (2n^2+2n+1)(\frac{1+\tan^2{C}}{2\tan{C}})}$
ดังนั้น
$\displaystyle{\frac{2n+1}{\sin{2A}} = \frac{2n^2+2n}{\sin{2B}}} = \frac{2n^2+2n+1}{\sin{2C}}$ --(*)
และจาก $\displaystyle{2A+2B+2C = \pi}$ แสดงว่า มีสามเหลี่ยมรูปหนึ่งที่ประกอบไปด้วย มุมขนาด 2A,2B และ 2C
พิสูจน์ไม่ยากว่า $\displaystyle{(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2 = (2n^2+2n+1)^2}$ ดังนั้นสามเหลี่ยมที่ว่านั้น เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
$\displaystyle{\sin{2C} = \sin{90^{\circ}}}$
$\displaystyle{C = 45^{\circ}}$
$\displaystyle{z = \tan{C} = \tan{45^{\circ}} = 1}$
$\displaystyle{\sin{2B} = \frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}}$
$\displaystyle{\frac{2\tan{B}}{1+\tan^2{B}} = \frac{2n^2+2n}{2n^2+2n+1}}$
$\displaystyle{(2n^2+2n)\tan^2{B} -2(2n^2+2n+1)\tan^2{B}+(2n^2+2n) = 0}$
$\displaystyle{(n\tan{B}-(n+1))((n+1)\tan{B}-n) = 0}$
$\displaystyle{y = \tan{B} = \frac{n}{n+1}}$ เพราะถ้าใช้ $\tan{B} = \frac{n+1}{n}$ จะได้ค่า $x$ เป็นลบ ซึ่งโจทย์ไม่ต้องการ
แทนค่า $z,y$ ลงในสมการที่ 2
จะได้ $\displaystyle{x(\frac{n}{n+1})+\frac{n}{n+1} + x = 1}$
$\displaystyle{\frac{2n+1}{n+1}x = \frac{1}{n+1}}$
$\displaystyle{x = \frac{1}{2n+1}}$
คำตอบของสมการที่เป็นบวกคือ $\displaystyle{(x,y,z) = (\frac{1}{2n+1},\frac{n}{n+1},1)}$